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Física básica: cinemática

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Llamamos cinemática al estudio de los cuerpos en movimiento, sin considerar las causas que lo producen o modifican

Movimiento

Idea de movimiento


Al observar el proceso que se realiza cuando sale el sol hace su aparición por el Este para efectuar su itinerario por la bóveda celecte, o el simple paso de un avión o un tren ante nosotros, tenemos la perfecta idea de movimiento.
Si, instalados en el banco de una plaza, observamos a varios niños jugando, mientras que otros se hayan placenteramente sentados y leyendo, decimos que los primeros se mueven y los otros no.
Ellos, en valor absoluto de ese medio, como es la plaza; pero si pensamos que nosotros o los que están sentado "ven" que el atardecer los ha sorprendido en ese lugar, es porque "se han movido" también, no ya respecto del banco o del compañero que tienen al lado, sino respecto del Sol.
De todo esto surge que un cuerpo puede estar en movimiento o en reposo según los puntos de referencia que se consideren.
Así, el niño sentado está en reposo respecto al banco, pero está en movimiento si lo consideramos como perteneciente a la Tierra, que, a su vez, se mueve respecto del Sol.
Por todo ello, diremos que movimiento es el cambio de posición de un cuerpo, con respecto a un punto considerado fijo, a medida que transcurre el tiempo.
Supongamos que los ejes OX y OY, perpendiculares, representen dos avenidas fundamentales en el trazado de una ciudad y que un automóvil, situado primitivamente en A, esté, después de cierto tiempo, en B, y posteriormente en C.
La posición en A es a 3 cuadras de X y a 2 cuadras de Y; en B, a 4 cuadras de X y a 4 cuadras de Y; en C, a 2 cuadras de X y a 6 cuadras de Y.



Es decir, que las posiciones del cuerpo respecto de las avenidas han cambiado con respecto al tiempo transcurrido. Matemáticamente hablando, los ejes OX y OY representan un sistema de ejes cartesianos.
El eje OX se llama eje de las abcisas y el OY ejes de las ordenadas.
Los valores simultáneos de la posición en A se llaman coordenadas del punto A
Por ello, diremos que las coordenadas del punto A son:

X = 3 e Y = 2

del punto B:

X = 4 e Y = 4

del punto C:

X = 2 e Y = 6

o sea que, al cambiar la posición del cuerpo, han variado las coordenadas de esos puntos.
decimos entonces, que un punto o un cuerpo está en movimiento, respecto de un sistema de coordenadas considerado fijo, cuando las coordenadas de ese punto varían con respecto al tiempo transcurrido.

Ejemplo: Hallándonos sentados en un medio de transporte, ¿estamos en movimiento o en reposo? Ambas cosas: en movimiento con respecto al paisaje; en reposo con respecto a los puntos del vehículo.
Análogamente, sentados en casa, leyendo, estaremos:

a- En reposo respecto de un punto de la habitación.
b- En movimiento respecto de un punto en el cielo, ya que giramos con la Tierra.

Con los cual queda aclarado que el fenómeno dependerá del sistema de coordenadas elegido.

Trayectoria Es la figura formada por los distintos puntos que va ocupando el móvil (cuerpo en movimiento) a medida que transcurre el tiempo.
Si la figura descrita es una recta, la trayectoria es rectilínea.



Si la figura descrita es una parábola, la trayectoria se llama parabólica.



Si el móvil describe una circunferencia, la trayectoria se denomina circular.


Movimiento de traslación


El cuerpo posee movimiento de traslación cuando un determinado segmento de él adopta posiciones paralelas a la primitiva.

Movimiento de rotación


Un cuerpo realiza movimiento de rotación cuando uno de sus puntos describe una circunferencia o arcos de circunferencia.
La Tierra, por ejemplo, posee dos movimientos: el de traslación, alrededor del Sol, y el de rotación, sobre su eje.


Estudio cinemático y dinámico de un movimiento


El estudio cinemático es el realizado sin tener en cuenta las causas que originan el movimiento. El estudio dinámico es el que considera las fuerzas que provocan ese movimiento.

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)


Observemos el paso de un automóvil por una carretera rectilínea



en el primer minuto, 600 m; en el segundo, 600 m, y van recorridos 1200 m; en el tercero, 600 m, y van recorridos 1800 m; en el cuarto, 600 m, y van recorridos 2400 m.
Si continúa así indefinidamente, diremos que se mueve de modo "uniforme". Llegamos, pues, a la definición del movimiento rectilíneo uniforme:

Movimiento rectilíneo uniforme es aquel en el cual el móvil describe una trayectoria rectilínea y recorre espacios iguales en tiempos iguales.

En un Movimiento uniforme, la definición de la velocidad es la siguiente:

Velocidad es el espacio o distancia recorrido en cada unidad de tiempo.

También puede ser ésta:

Velocidad es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado.

En símbolos:

v = e / t

donde:

v = velocidad

e = espacio.

t = tiempo

Unidades de velocidad


a - Para e medido en centímetros y t en segundos:

v = cm / seg

b - Para e medido en metros y t en minutos:

v = m / min

c - Para e medido en kilómetros y t en horas:

v = km / h

d - Para e medido en millas y t en horas:

v = cmilla / h

e - Para e medido en kilómetro y t en segundos:

v = km / seg

Debemos dejar bien aclarado que cuando decimos que la velocidad de un avión es de 1200 km por hora, o que un tren realizó un viaje a 90 Km por ahora, significa cada hora.
Esta forma de expresión nos da cabal idea del sentido físico de la velocidad, es decir que, al expresar 90 Km por hora, significa que el móvil recorre 90 Km cada hora.

Valores del espacio y del tiempo


De la fórmula:

v = e / t

despejando, resulta:

e = v * t

y

t = e / v

Leyes del movimiento rectilíneo unifrome


Apliquemos la fórmula de la velocidad; empleando los datos anteriores, tendremos:

En A

v = 600 m / 1 min = 600 m / min

En B

v = 1000 m / 2 min = 600 m / min

En C

v = 1800 m / 3 min = 600 m / min

En D

v = 2400 m / 4 min = 600 m / min

En todos los puntos de la trayectoria, la velocidad es igual. Por lo tanto, la primera ley es la siguiente:

En un MRU, la velocidad es constante.

Si un móvil, con movimiento uniforme, recorre 600 m en 1 min, 1200 m en 2 m, 1800 m en 3 min y 2400 m en 4 min, tendremos que a mayor tiempo corresponde mayor espacio, y viceversa. De lo cual se deduce la siguiente ley:

En un MRU, el espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo empleado.

Representación gráfica


Consideremos un sistema XX' e YY' de ejes cartesianos ortogonales y asignemos a cada uno de ellos una de las magnitudes consideradas para el estudio de la velocidad. podremos obtener gráficos que representan las leyes enunciadas más arriba.

Representación de la primera ley


En este caso se determinan, sobre el eje X, los tiempos; sobre el eje Y, las velocidades, y por cada punto se trazan las perpendiculares a cada eje.



Obtenemos que la intersección de esas perpendiculares representa el punto que corresponde a esos valores.
Ya hemos verificado que, en el movimiento uniforme, la velociad es constante; en consecuencia:

En A:

t = 1 min

y

v = 80 m / min

En B:

t = 2 min

y

v = 80 m / min

En C:

t = 3 min

y

v = 80 m / min

procedemos a marcar sobre le eje X los tiempo y sobre el eje Y las velocidades. Las perpendiculares trazadas por los tiempos y por las velocidades, nos dan los puntos A, B, C, los cuales determinan una recta paralela al eje del tiempo (eje X), que indica que la velocidad es constante.
Si consideramos el rectángulo OVCT que han formado, resulta:

área OVCT = b * h

pero

B = t

y

h = v

por lo tanto:

área OVCT = t * v

pero:

t * v = e

en consecuencia:

área OVCT = e * t

es decir que el área del rectángulo que queda determinado en la representación gráfica de la velocidad en función del tiempo, equivale al espacio recorrido por el móvil en ese tiempo.

Representación de la segunda ley


En este caso consideremos al eje X como el eje de los tiempos y al eje Y como el eje de los espacios.
Sean los valores siguientes: en el primer minuto recorrió 35 m (punto A); en el segundo minuto recorrió 70 m (punto B); en el tercer minuto recorrió 105 m (punto C); en el cuarto minuto recorrió 140 m (punto D).
Sobre el eje X determinamos los tiempos:

En A = 1 min

En B = 2 min

En C = 3 min

En D = 4 min

que son segmentos iguales entre sí, y sobre el eje Y:

En A = 35 m

En B = 70 m

En C = 105 m

En D = 140 m

Unimos los puntos A, B, C y D; queda determinada una recta, que es la gráfica de la segunda ley:

El espacio es proporcional al tiempo.

Según ésta gráfica, podemos conocer el espacio recorrido en un tiempo t cualquiera. Así, conociendo el espacio recorrido, se obtiene el tiempo empleado.

En la siguiente figura



el punto M está indicando un tiempo t = 3,5 min y un espacio e = 122,5 m.
Mediante esta gráfica podríamos calcular también el espacio recorrido al minuto y medio o a los cinco minutos.

Movimiento variado


Cuando viajamos en automóvil, en tren, etc., vemos que la velocidad no se mantiene constante. Ello se debe, entre otras causas, a las paradas para el ascenso y descenso de los pasajeros, a la disminución de velocidad por la interposición de otros vehículos, por el mal estado del camino, etc. Esto nos lleva a la definición del movimiento variado:

Movimiento variado es el que posee el móvil cuya velocidad es distinta en cada unidad de tiempo.

Supongamos que al final de la primera hora posee una velocidad de 30 Km / h; al final de la segunda, 45 Km / h; al final de la tercera, 70 Km / h.



Verificamos que para cada unidad de tiempo se producen variaciones de velocidad, lo cual permite definir una nueva magnitud, que estudiamos a continuación.

Aceleración


Su definición es la siguiente:

Aceleración es el cociente o razón entre la variación o incremento de velocidad e intervalo de tiempo transcurrido.

En símbolos:

a = Vf - Vi / Tf - Ti

donde:

a = aceleración

Vi = velocidad inicial

Vf = velocidad final

Ti = tiempo inicial

Tf =tiempo final

Unidades de aceleración


Si

a = Vf - Vi / Tf - Ti

las unidades de aceleración serán:

[a] = unidad de velocidad / unidad de tiempo

por lo tanto:

a = m / seg : seg = m / seg2 (al cuadrado)

o

a = Km / h : h = Km / h2 (al cuadrado)

o

a = cm / seg : seg = cm / seg2 (al cuadrado)

Por lo tanto será:

m / seg2, m / min2, km / m2 o cm / seg2

Movimiento rectilíneo uniformemente variado


Podría ocurrir que el móvil en cuestión registrara las siguientes velocidades: al fin del primer minuto, 30 m / min; al fin del segundo minuto, 40 m / min; al fin del tercer minuto, 50 m / min; al fin del cuarto minuto, 40 m / min; al fin del quinto minuto, 30 m / min; y al fin del sexto minuto, 20 m / min.



En este caso los incrementos (variaciones: aumentos o disminuciones) de velocidad son siempre iguales para cada unidad de tiempo; es decir, la aceleración es la misma. Esta variación ah sido aquí de 10 m / min. Consecuentemente, este movimiento se define así:

Movimiento uniformemente variado es el que tiene aquel móvil cuya velocidad aumenta o disminuye en cantidades iguales en cada unidad de tiempo.

Por lo tanto, en un movimiento uniformemente variado, la aceleración es constante.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado


Supongamos que viajamos en un vehículo cuyas variaciones de velocidad son:

a - En el primer minuto:

v = 10 m / min

b - En el segundo minuto:

v = 20 m / min

c - En el primer minuto:

v = 30 m / min

Y así sucesivamente.



Aquí registramos un aumento constante de velocidad para cada unidad de tiempo: 10 m/min. De movimiento uniformemente acelerado, que definimos así:

Movimiento uniformemente acelerado es el que tiene aquel móvil que en cada unidad de tiempo aumenta su velocidad en cantidades iguales.

Por lo tanto, en el movimiento uniformemente acelerado, la aceleración es positiva.

Movimiento uniformemente retardado


Sea el caso de un móvil cuyas velocidades sean:

a - En el punto A:

50 m / min

b - En el punto B:

45 m / min

c - En el punto C:

40 m / min

d - En el punto A:

30 m / min

Y así sucesivamente.



Podemos observar que su velocidad disminuye en cantidades iguales en tiempos iguales. Decimos, entonces, que el móvil posee movimiento rectilíneo uniformemente retardado, que definimos así:

Un móvil posee movimiento uniformemente retardado cuando su velocidad disminuye en cantidades iguales en tiempos iguales.

Por lo tanto, en el movimiento uniformemente retardado, la aceleración es negativa.

Cálculo de la velocidad en el movimiento uniformemente variado


1 - El movimiento es uniformemente acelerado; por lo tanto, es:

a = (V2 - V1) / t

en consecuencia:

a * t = V2 - V1

y

a * t + V1 = V2

A la velocidad V2 la llamamos Vf (velocidad final) y la velocidad V1 la denominamos Vi
(velocidad inicial), por lo cual la expresión quedará:

Vf = Vi + a * t

2 - El movimiento es uniformemente retardado, por lo cual es:

-a = (V2 - V1) / t

Por lo tanto:

-a * t = V2 - V1

y

a * t + V1 = V2

que puede escribirse:

V1 - a * t = V2

Para:

V2 = Vf

y

V1 = Vi

es:

Vf = Vi - a * t

Velocidad inicial


A la velocidad Vi, la denominamos velocidad inicial. Se entiende por tal la que posee el móvil en el momento de hacer su movimiento variado.
Supongamos una carrera de autos o de bicicletas, en las cuales, una vez alcanzado cierto punto de la trayectoria con determinada velocidad, se inicia el movimiento acelerado.
Si esos vehículos, detenidos en el lugar de largada, reciben orden de salida, su velocidad inicial será nula o cero.movimie
En el movimiento uniformemente retardado debe haber siempre velocidad inicial.

Cálculo del espacio en el movimiento uniformemente variado

Movimiento uniformemente acelerado


El espacio en un movimiento uniformemente acelerado se calcula mediante la expresión:

e = Vi * t + 1/2 * a * t2 (tiempo al cuadrado)

¿De dónde viene esta expresión?

para averiguarlo, veamos el siguiente problema:

Cuando decimos que una persona ganó a razón de 195 Km / h ¿qué significamos? Que consideramos una velocidad media o promediada.
La velocidad promedio entre dos puntos de un trayecto es igual a la semisuma de las velocidades en dichos puntos, es decir:

Vm = (Va + Vb) / 2

Consiguientemente, debemos considerar que la velocidad promedio es una velocidad uniforme.
Con esta condición, y recordando que en el movimiento uniforme el espacio es igual al producto de la velocidad por el tiempo, resulta:

e = v * t

Si la velocidad es la velocidad promedio Vm queda:

e = Vm* t

y como:

Vm = (Va + Vb) / 2

reemplazando resulta:

e = [(Va + Vb) / 2] * t

donde Va está es representación de Vi y Vb está en representación de Vf, es decir:

e = [(Vi + Vf) / 2] * t

pero como:

Vf = Vi + a * t

reemplazando quedaría:

e = [(Vi + Vi + a * t) / 2] * t

si efectuamos el producto indicado, tenemos:

e = [(2Vi * t + a * t2) / 2]

y desdoblando el denominador:

e = (2Vi * t / 2) + (a * t2 / 2)

Simplificando nos queda:

e = (Vi * t) + (a * t2 / 2)

O lo que es lo mismo:

e = Vi * t + 1/2 * a * t2

Por lo tanto, el espacio recorrido por un móvil con movimiento uniformemente acelerado es igual a la velocidad inicial por el tiempo, más un medio de la aceleración por el cuadrado del tiempo.

Si el cuerpo parte del reposo:

Vi = 0

por lo tanto:

e = 1 / 2 * a * t2

por lo tanto, en un movimiento uniformemente acelerado puede o no haber velocidad inicial.

Resumiendo lo expuesto, resultan las siguientes leyes:

En un movimiento uniformemente acelerado, la aceleración es constante.

De la fórmula: v = a * t, siendo a constante, resulta que la velocidad de un movimiento uniformemente acelerado es directamente proporcional al tiempo.

De la expresión de espacio e = 1 / 2 * a * t2, siendo a constante, resulta que el espacio recorrido con movimiento uniformemente acelerado es directamente proporcional al cuadrado del tiempo.
Lo cual, dicho en otras palabras, es: a doble tiempo, cuádruple espacio; a triple tiempo, espacios nueve veces mayor; a cuádruple tiempo, espacio dieciséis veces mayor.


Movimiento uniformemente retardado


En este caso, se aplica la misma fórmula que en el caso anterior, pero teniendo presente que la aceleración es negativa



es decir:

Vf = Vi * t - 1/2 * a * t2

Por lo tanto, en un movimiento uniformemente retardado, siempre deberá haber velocidad inicial.

Caída libre en el vacío


La observación diaria nos indica que todo cuerpo, librado a acción de su peso, cae, debido a que actúa sobre él la fuerza de la gravedad.



El fenómeno de la caída de los cuerpos atrajo desde la antigüedad la atención de los científicos. En el principio se creía que cuanto más pesado era el cuerpo, mayor era la velocidad con que llegaba a la tierra.
Galileo, absorbido por este fenómeno, realizó la hoy histórica experiencia desde la torre de Pisa: dejaba caer tres cuerpos de distintos pesos, pero de igual forma y tamaño, es decir que pfrecían igual resistencia a la acción del aire, y comprobó que los tres llegaban simultáneamente al suelo.



Evidentemente, surgieron algunas dudas; por ejemplo, si dejamos caer un papel y una piedra, no llegaban simultáneamente. Galileo aclaraba que la diferencia, en este caso, se produce por el rozamiento del aire. Las numerosas pruebas realizadas por Galileo le permitieron emitir el siguiente enunciado, que se conoce como ley de caída libre en el vacío:

Todos los cuerpos que caen desde la misma altura, adquieren en el vacío (prescindiendo del rozamiento del aire) la misma velocidad.

Inventada la bomba de vacío, Newton realizó el siguiente experimento: dentro de un tubo de vidrio, de aproximadamente un metro de largo, colocó una pluma y un trozo metálico; extrajo el aire por medio de una máquina de vacío; invirtiendo el tubo, comprobó que ambos cuerpos llegaban simultáneamente al otro extremo del tubo.



De este modo ratificaba en forma más técnica lo ya realizado por Galileo.

Pasemos ahora a estudiar cómo se verifica la caída libre en el vacío.
El mismo Galileo se dedicó a establecer la característica del movimiento de caída.
Para ello, disponía de un plano inclinado muy bien pulido y cuya inclinación variaba a voluntad.
Luego trabajaba así: dejaba caer por el plano inclinado una esfera metálica (también muy bien pulida) desde distintas alturas



y verificaba que las distancias recorridas eran proporcionales a los cuadrados de los tiempos, o sea que si en 1 seg recorríia 1 cm; en 2 seg, 4 cm; en 3 seg, 9 cm; en 4 seg, 16 cm; es decir, se cumplía con la ley de los espacios en el movimiento uniformemente variado.
La repetición de este tipo de experiencia con planos a distintas inclinaciones, lleva siempre a la misma conclusión; por lo tanto, todos los cuerpos caen en el vacío con movimiento uniformemente variado (acelerado).
Acabamos de deducir que la caída de los cuerpos es un movimiento uniformemente acelerado.
Si todos los cuerpos, al caer en un mismo lugar desde la misma altura, adquieren la misma velocidad y llegan simultáneamente al suelo, resulta que están todos dotados de la misma aceleración.
Por ello, podemos decir que en un mismo lugar de la Tierra, y prescindiendo del rozamiento del aire, todos los cuerpos caen con la misma aceleración, llamada aceleración de la gravedad.
Podemos decir también que la aceleración de la gravedad es la aceleración común que adquieren los cuerpos en su caída en cada lugar de la Tierra.

Variación de la aceleración de la gravedad


La aceleración de la gravedad varía con la latitud.
Se ha determinado que la aceleración de la gravedad alcanza su valor mínimo sobre el ecuador y va aumentando hacia los polos, donde su valor es máximo.



De acuerdo con esto:

a - En Buenos Aires:

g = 980 cm / seg2 (segundo la cuadrado)

b - En parís:

g = 980,6 cm / seg2 (segundo la cuadrado)

c - En los polos:

g = 983 cm / seg2 (segundo la cuadrado)

d - En el ecuador:

g = 978 cm / seg2 (segundo la cuadrado)

Esta variación de g ratifica el hecho ya conocido de que la Tierra no e suna esfera y que el radio ecuatorial es mayor que el radio polar.
Se ha tomado como valor normal de la gravedad el correspondiente a 45º de latitud, o sea:

g = 980,665 cm / seg2 = 981 cm / seg2

Hemos dado valores de g para distintas latitudes, pero sobre el nivel del mar. Se ha establecido que a medida que ascendemos, la fuerza de la gravedad es menor. Por consiguiente, la aceleración de la gravedad disminuye con la altura; o sea, la aceleración de la gravedad aumenta al aproximarse el cuerpo al nivel del mar.
Dentro de los cálculos y problemas que realizamos, este fenómeno es despreciable, pero ha de tenerse muy en cuenta para el cálculo de vuelos interplanetarios, lanzamientos de cohetes, satélites, etc.

En síntesis:

1 - Todos los cuerpos caen con movimiento uniformemente acelerado.

2 - Todos los cuerpos, al caer, adquieren la misma aceleración.

3 - Aceleración de la gravedad es la aceleración que adquieren los cuerpos en la caída libre; su valor depende de la latitud del lugar y se representa por la letra g

Como la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado, se cumplen las mismas leyes que en ese movimiento. Las fórmulas para calculas la velocidad y el espacio son:

a - En un movimiento uniformemente acelerado:

v = a * t

e = 1 / 2 * a * t2


b - En la caída libre:

v = g * t

e = 1 / 2 * g * t2


De la fórmula:

e = 1 / 2 * g * t2

pasando a otro miembro 2 y t2, queda:

g = (2 * e) / t2

donde e se mide fácilmente, asó como t. Por ello, esta fórmula es de gran importancia para determinar el valor de g en los distintos lugares de la Tierra.
Todos los puntos geográficos situados a la misma latitud poseen igual aceleración de la gravedad (g).

Tiro vertical


Se conoce como tiro vertical el lanzamiento de cuerpos arriba y en forma vertical, prescindiendo del rozamiento del aire.
Ejemplos. El ascenso de una cañita voladora, revolear una moneda, obrero que envía ladrillos desde el suelo a un andamio



Luego, el tiro vertical es un movimiento contrario al de la caída libre.
Por lo tanto, todo cuerpo lanzado hacia arriba está dotado de movimiento uniformemente retardado.
Las fórmulas que permiten calcular la velocidad y la altura (espacio) alcanzadas son:

Vf = Vi - g * t

y

e = Vi * t - 1/2 * g * t2

Velocidad final en el tiro vertical


Como el movimiento es uniformemente retardado, es fácil concebir que la velocidad final del proyectil se logrará cuando no asciende más; es decir, en el momento en que su velocidad sea cero, instante en que su altura será la máxima.
De acuerdo con lo expresado, será:

Vf = Vi - g * t

Si:

Vf = 0

Vi - g * t = 0


Por lo tanto:

Vi = g * t

y

t = Vi / g

expresión que nos indica el tiempo que empleará un cuerpo para alcanzar su altura máxima.
Conociendo la velocidad inicial, mediante la fórmula:

h = Vi2 / (2 * g) (Vi elevada al cuadrado)

se puede calcular la altura máxima que alcanzará el cuerpo.
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