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Geometría sin dibujos: parte 1

Hola amigos, retomo los post (temas) sobre matemáticas. En esta ocasión les traeré una serie dedicada a la educación matemática y la llamaré "Geometría sin dibujos" y hace referencia a la fuerte influencia del logicismo en la forma de enseñar temas matemáticos. Para eso ilustraré la forma en la que se está enseñando lo que comúnmente conocemos como geometría básica, sintética o euclidiana. Después colocaré las diversas críticas y finalmente mi punto de vista.

En este primer post les hablaré un poco sobre lo que es un sistema axiomático y cómo el sistema axiomático formal permite eliminar los dibujos (de los que tanto se valió Euclides para su presentación de la geometría) del desarrollo de la geometría euclidiana.



Advertencia: Esta serie de post va dirigida a toda persona que tenga conocimientos básicos de geometría y que le interese el tema de la enseñanza.


No siendo más empecemos:

Sistemas axiomáticos: material y formal


Un sistema axiomático es la forma acabada que toma hoy una teoría deductiva. Es un sistema donde todos los términos u objetos no definidos y las proposiciones no demostradas se enuncian explícita-mente, siendo estas últimas, fijadas como hipótesis a partir de las cuales pueden construirse las demás proposiciones del sistema, siguiendo unas reglas lógicas perfectas (reglas de inferencia) y expresamente determinadas. El encadenamiento lógico que se hace a partir de las hipótesis, constituye la demostración. La necesidad de términos no definidos y proposiciones no demostradas se debe a que es imposible llevar la definición y la demostración indefinidamente.

Mediante la demostración, se establecen nuevas proposiciones o relaciones entre los objetos a partir de la relaciones entre los objetos a partir de las relaciones dadas como axiomas; luego se hace necesario nombrar o definir los nuevos objetos que verifican estas propiedades; es así como la demostración y la definición corren de la mano.

Definición y demostración son en consecuencia, las dos operaciones fundamentales mediante las cuales se desarrolla una teoría deductiva.

Dentro del desarrollo axiomático griego, las nociones y principios se construían con fundamentación en el mundo exterior, es decir, se pretendía que los axiomas respondieran a la realidad y fueran así mismo auto-evidentes; este tipo de axiomáticas se han denominado genéticas o materiales, aquí los axiomas tienen un contenido o sentido.

En la geometría desarrollada por Euclides, los términos primitivos como son: punto, recta, relaciones de incidencia, orden y congruencia tienen un contenido "material" e intuitivo evidente, sin embargo, en el desarrollo de su fundamentación se prescinde de este desarrollo material e intuitivo.

En oposición a la axiomática material, se estructura lo que se ha denominado un sistema axiomático formal, en el cual los elementos primitivos carecen en absoluto de contenido y son las piezas de un puro juego sin sentido material en sí mismo. El sentido viene implícitamente por las reglas del juego construidas por los axiomas y las reglas lógicas de demostración.

En un sistema formal, los axiomas no tienen características de auto-evidentes, son simplemente premisas, puntos de partida para el desarrollo de resultados posteriores. En este sentido, de las proposiciones que se concluyen de los axiomas por medio de reglas lógicas, diremos que son formalmente válidas, es decir, que existe una filiación lógica entre los axiomas y dichas conclusiones.

De otra manera, podemos entender la "verdad" matemática como una verdad implicada, donde el antecedente está constituido por los axiomas y el consecuente por las conclusiones
.

Fuente: Elementos de geometría Cuarta edición. Escobar J. Universidad de Antioquia, Facultad de Ciencias, Exactas y Naturales, departamento de matemáticas. Medellín-Colombia. Pág. 1-2. 2012

Condiciones que deben cumplir los sistemas axiomáticos formales


En síntesis, una teoría deductiva bien estructurada, debe cumplir las siguientes condiciones:

1. Enunciar explícita-mente los términos primeros, con ayuda de los cuales se propone definir todos los otros.

2. Enunciar explícita-mente las proposiciones primeras, con ayuda de las cuales se propone demostrar todas las demás. estas proposiciones se denominan axiomas, la elección de estas proposiciones se denominan axiomas, la elección de estas proposiciones llamadas axiomas, la elección de estas proposiciones llamadas axiomas es en gran medida arbitraria, dependiendo en gran parte de los gustos del autor que está desarrollando la teoría, en general el autor busca sean simples y no demasiado numerosos .

3. Los axiomas deben verificar a su vez tres posibilidades:

3.1 Consistencia: se refiere a que no hallan dos teoremas deducibles a partir de los axiomas y sean contradictorios
.

3.2 Suficiencia: se refiere al hecho de que todo teorema sea deducible a partir de los axiomas y solo de ellos.

3.3 Independencia: por razones de economía también es deseable que sean independientes, es decir, que ninguno de ellos sea deducibles de los otros .

Las dos primeras (consistencia y suficiencia) son imprescindibles en una teoría deductiva y la tercera (independencia) es deseable, es decir, la condición de independencia entre los axiomas, no es requisito indispensable en el desarrollo de una teoría axiomática, simplemente asegura que la teoría tenga el mínimo de supuestos teóricamente necesarios (axiomas). En la práctica, esta condición no se respeta, ya que no introduce contradicciones y permite agilizar el desarrollo de la teoría.

3. Que las relaciones establecidas entre los términos sean únicamente relaciones lógicas, permaneciendo independiente del sentido concreto que pueda darse a los términos.

4. Que en las demostraciones sólo intervengan estas relaciones, lo que prohibe "tomar algo prestado" a la consideración de las figuras.

El punto 4. permite eliminar los dibujos en las demostraciones geométricas ya que no son necesarios, ni suficientes para el desarrollo de las demostraciones geométricas ni para definir los nuevos términos usados y como ya vimos, son la demostración y la definición los que permiten el desarrollo de una teoría deductiva. Ahora bien ¿existe un sistema axiomático formal, para la geometría euclidiana, que cumple con los requisitos de consistencia, suficiencia e independencia? sí y fue dada por primera vez por David Hilbert en sus elementos de geometría y hablaré o mejor expondré parte de este sistema en el próximo post.



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