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Primer parcial de la UBA

Buenas! Esto que voy a publicar es el primer parcial de matematica 61 en la UBA, para los que quieran practicar o por curiosidad. Y ver que les parece.

Bueno aca les dejo los problemas.



Agrego algunas respuestas que aportaron los usuarios @SebastianAltam6 y @1vyythe1_JR
Un agradecimiento grande a ellos dos

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@SebastianAltam6
Te tiro las respuestas de cada ejercicio para que los puedas verificar cuando los hagas

1) La inversa te queda f-1(x) = ( ln(2x+10)-1 ) / 5 . El dominio es todos los valores donde vale el logaritmo, que vale cuando lo que tiene adentro (en este caso, 2x+10) es mayor a 0. Entonces te queda que el dominio son todos los x mayores a 5, o lo que es lo mismo, Dom = (-5 , +infinito)

2) No hay asíntotas horizontales. Para que las alla, necesitas que los limites en +infinito y en -infinitos sean un numero real. En esta función, ambos límites divergen al +infinito (o al -infinito), el limite no es un numero real y entonces no hay horizontales.
Las asíntotas verticales aparecen en los ceros del denominador, siempre que no se cancelen con las del numerador. Si factorizás numerador y denominador de la función esa que pusiste te queda

f(x) = ( x * (x-3) * (x-1) ) / ( (x-2) * (x-3) ) y se te cancela el (x-3) de ambos. entonces el único término que te queda en el denominador es un (x-2) y la única asíntota vertical aparece en x=2 (Cuando x-2=0).

3) Para este tenés que igualar la derivada de la función esa que te dan f(x) a la pendiente de la recta y=9x+8 en el punto x0=1. La pendiente es el término que multiplica a la x de la recta, en este caso la pendiente es 9. Tenés que resolver f'(x=1)=9. Te queda k=-8/3

4) Los extremos relativos son puntos en los cuales la función alcanza un máximo o mínimo local. Aparecen cuando f'(x)=0. En este caso tenés dos extremos relativos, uno en x= -4 y otro en x=0. Para saber si son máximos o mínimos tenés que ver el signo de la derivada segunda en esos puntos, osea f''(x=-4) y f''(x=0). Dan negativo y positivo respectivamente, osea que en x=-4 hay un máximo local y en x=0 hay un mínimo local.
La función va creciendo hasta x=-4, después decrece hasta x=0 y vuelva a subir hasta el +infinito


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@1vyythe1_JR
Te dejo una explicación así por arriba, porque estoy ocupado con Algebra.


1) Cambia las X por las Y y viceversa para que te quede la función inversa, vas a tener que aplicar logaritnmo natural en ambos términos para bajar el exponente (y después sabes que ln e = 1 ). Y ahí ya sabes que la restricción de tu dominio va a ser que lo que este adentro del logaritmo natural sea mayor a cero.

2) Limite de X tendiendo a infinito para las asíntotas horizontales, y Límite de X teniendo a las raíces del denominador para las verticales (osea, donde tenes problemas de dominio es donde tenés posibles asíntotas verticales).

3) Deriva una vez la función, y con eso te queda la pendiente de la recta tangente. Vos sabes que para que ambas rectas sean paralelas, ambas deben tener la misma pendiente. Es decir, la pendiente tiene que ser 9x. Entonces igualas la derivada a 9x, evaluas en x0 = 1 y con eso sacas k.

4) Derivas una vez, igualas la derivada a cero para averiguar en que punto(s)se alcanzan máximos o mínimos y haces Bolzano.. Es decir, hace esto:


I (-inf, 2) I 2 I (2, 4) I 4 I (4, +inf)
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f(x) I decrece I MIN I crece I MAX I decrece
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f´(x) I - I 0 I + I 0 I -


Ahi te puse un ejemplo de una función, cuyo dominio son todos los números reales, que tiene derivada igual a cero en x=2 y x=4. Con eso te armas los intervalos de la tablita, donde 2 y 4 serán extremos de la función (punto donde la derivada es cero). Si evaluas, por ejemplo, en x=1 y te da negativo, entonces la derivada en todo el intervalo(-inf, 2) es negativa. Si evaluas en x=3 y te da positivo, entonces la derivada en todo el intervalo (2, 4) es positiva. Hasta aca estamos bien? Bueno...

Vos sabes que si una función tiene derivada negativa, entonces esa función decrece. Entonces, si la función primero decrece y después crece, el punto donde tenes un extremo, que esta en el medio de ambos intervalos, es un mínimo. Y si pasa lo inverso, tenes un máximo. Esa es la lógica de la tablita.

Es decir, completa la tablita, y tenes intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos. Si te pidieran concavidad, es hacer exactamente lo mismo, pero derivando dos veces.


Espero que hayas entendido, salu3
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