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¿Qué rayos es el cálculo diferencial e integral?



No me seas boludo y mirate la precuela de este post:

¿Que rayos son las graficas de funciónes?

¿ya la leiste? ya se que no, pero si no la lees dudo que le entiendas, eso o eres boludo mal. En fin, ya sabemos que ahora podemos agarrar una función o una ecuación y ponerla en una gráfica, haciendo un "mapa" de como la ecuación va dando los números acorde a como se los entregas.



Pues vamos con el cálculo diferencial.

Digamos que tengo mi gráfica de una función. Ponele una parábola así:



Ahora pongo un puntito a que la recorra, como si fuera una rueda



Y sobre esa "rueda" pongo una línea, para que recorra la curva como si fuera un carro de montaña rusa:



Tamos de acuerdo que esa línea solo toca a la curva en ese puntito que puse y no en otro lado, ¿no?. Bien, digamos que quiero saber que tán inclinada está esa línea según donde está el puntito sobre el que se apoya. ¿como le hago? pues para eso es una derivada, maestro! La derivada es una fórmula que sacas de otra fórmula (es un DERIVADO de la primera) a la que la das un número y en vez de decirte cuanto sale de la primera fórmula, te dice que tan inclinada esta la fórmula en ese puntito, es decir, que tán inclinado estárá la línea si la apoyamos sobre ese puntito.

Para decir que es una derivada se le sueleponer un acentito a la función, así:



Igual se usa estas notaciónes para decir la misma boludez:



Ya veré si algún día me animo a explicar esto con detalle

Ahora las integrales. Ponele que ahora queremos saber que área hay entre la gráfica, el eje X, y dos líneas verticales (conocidas entre los pibe como 'a' y 'b')



Aca los tipos dicen que esa área se llama S, pero acuerdense, se puede poner la letra que quieran, simpre y cuando no la usen para otra cosa.

bien, ¿como le hacemos?. Pues dibujamos rectangulitos debajo de la gráfica, le sacamos el área a todos, la sumamos y listo!




Si, ya se, no queda bien y es super mala, picos se salen de la línea, faltan cachos, un quilombo
Pues si vamos haciendo los rectángulos más y más delgados, podemos meter más y más en la figura



Y cuando los recángulos son infinítamente delgados, hay infinitos rectángulos dentro, y la cosa ya va dando algo con más sentido...



Soloamente queda INTEGRAR todos los rectángulos en la suma Y tenemos nuestra área lista!

Las integrales se suelen escribir con una s alargada con los valores de la a y b arriba y abajo, la fórmula a la que le vamos a sacar el área y un dx (o d y la variable de la función) al frente.



dice la leyenda que el símbolo de la integral inventó el matemático Gauss al estar cansado de hacer muchas S de suma, que dibuja una s con toda la fiaca del mundo.

También hay una cosa que se llama integral indefinida, que la diferencia es que no trae las letyras a y b. estas en vez de darte un área te dan una fórmula para que saques el área en la parte que quieras de la gráfica. simplemente no se ponen los numeritos arriba y abajo de la s rara y ya.



Como yapa, hay una cosa muy curiosa con las derivadas e integrales: son lados opuestos de la misma moneda. Si te agarras una fórmula, la integras, y luego la derivas, acabas con la fórmula del pricipio. Igual si primero la derivas y luego la integras, es lo mismo. A esto se le llama Teorema Fundamental del Cálculo (al menos la primera parte 1)

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