El método de la variación de los parámetros es una manera de encontrar una solución particular a una ecuación diferencial lineal no homogénea.
Considere la ecuación diferencial,
p(t)y'' + g(t)y' + r(t)y = g(t) Ec. (1)
Vamos a empezar por reconocer que la solución complementaria a la ecuación (1) es
yc( t ) = C1y1( t ) + C2y2( t ) + ⋯ + Cnyn( t )
Donde c1, C2, ... , Cn son constantes
Recuerde también que esta es la solución general de la ecuación diferencial homogénea y sabiendo que y1 (t) y y2 (t) son un conjunto fundamental de soluciones para
p(t)y'' + g(t)y' + r(t)y = 0 Ec.(2)
Lo que vamos a hacer es ver si podemos encontrar un par de funciones, u 1 (t) y u 2 (t) de manera que
Yp( t ) = U1y1( t ) + U2y2( t )
será una solución de la ecuación 1.
Si vamos a conectar nuestra propuesta de solución a la ecuación diferencial vamos a necesitar algunas derivadas.
La primera derivada es Yp(y)= U'1Y1+U1Y'1+U'2Y2+U2Y'2
Aquí está la suposición vamos a asumir que todo lo que u 1(t) y u 2 (t) es que van a satisfacer las siguientes. U'1Y1+U'2Y2=0 Ec. (3)
Con esta suposición la primera derivada se convierte Y'p(t)=U1Y'1+U2Y'2
Entonces la segunda derivada es
Y''p(t)= U'1y'1+U1Y''1+U'2Y'2+U2Y''2
Sustituyendo los valores en la ecuación 1 tenemos
Acomodando la ecuación y sacando factor común tenemos
Ahora, ambos Y 1 (t) y Y 2 (t) son soluciones de la ecuación 2 y por lo tanto el segundo y tercero son cero. Reconociendo esto y reorganizar un poco nos da,
Ec. (4)
Para simplificar las cosas a un mas vamos a suponer que la función p (t) = 1
En otras palabras, vamos a volver atrás y empezar a trabajar con la ecuación diferencial,
y'' + g(t)y' + r(t)y = g(t)
Si el coeficiente de la segunda derivada no fuera una división de manera que se convierte en un uno. La fórmula que vamos a estar recibiendo asumirá esto! Al hacer esto, las dos ecuaciones que queremos resolver por lo que para las funciones son desconocidas
Ec. 5
Ec. 6
Tengamos en cuenta que en este sistema sabemos las dos soluciones y así las dos únicas incógnitas aquí son u'1 y u'2. La solución de este sistema es en realidad bastante simple. En primer lugar, resolver la ecuación (5) para u'1, que conectará a la ecuación (6) y hacer algo de simplificación.
ec. 7
ec. 8
Por lo tanto, ahora tenemos una expresión para u’2. Al conectar esto en la ecuación (7) nos dará una expresión para u’1.
EC. 9
A continuación, vamos a notar que
(esto lo podemos resolver usando la regla de Cramer)
Recordemos que y 1 (t) y y 2 (t) son un conjunto fundamental de soluciones y así sabemos que el wronskiano no será cero
Finalmente, todo lo que tenemos que hacer es integrar la ecuación 8 y 9 con el fin de determinar lo que u 1 (t) y u 2 (t) son. Haciendo esto nos da:
Por lo tanto, siempre y cuando podamos hacer estas integrales, una solución particular de la ecuación diferencial es
Antes de proceder con un par de ejemplos que vamos a primera dirección de los asuntos relacionados con las constantes de integración que surgirán de las integrales. Poner en las constantes de integración dará lo siguiente.
La cantidad final entre paréntesis no es más que la solución complementaria con c 1 =-c y c 2 = k , y sabemos que si nos conectamos esto en la ecuación diferencial se simplifique a cero estos términos no añaden nada a la solución particular y lo que vamos a seguir adelante y asumir que c = 0 y k = 0 en todos los ejemplos.
Ejemplo 1 Determine una solución general a la ecuación diferencial siguiente.
2y''+18y=6tan(3t)
Solución
En primer lugar, ya que la fórmula de variación de parámetros requiere un coeficiente de uno delante de la segunda derivada Cuidemos de que antes de que se nos olvida. La ecuación diferencial que en realidad estaremos resolviendo es
y''+9y=3tan(3)
Lo dejaremos para que verifique que la solución complementaria para esta ecuación diferencial es
Yc(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)
Así pues, tenemos
El wronskiano de estas dos funciones es
La solución particular es entonces,
La solución general es,
Y(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)-(cos(3t)/3)ln│sec(3t)+tan(3t)│
Considere la ecuación diferencial,
p(t)y'' + g(t)y' + r(t)y = g(t) Ec. (1)
Vamos a empezar por reconocer que la solución complementaria a la ecuación (1) es
yc( t ) = C1y1( t ) + C2y2( t ) + ⋯ + Cnyn( t )
Donde c1, C2, ... , Cn son constantes
Recuerde también que esta es la solución general de la ecuación diferencial homogénea y sabiendo que y1 (t) y y2 (t) son un conjunto fundamental de soluciones para
p(t)y'' + g(t)y' + r(t)y = 0 Ec.(2)
Lo que vamos a hacer es ver si podemos encontrar un par de funciones, u 1 (t) y u 2 (t) de manera que
Yp( t ) = U1y1( t ) + U2y2( t )
será una solución de la ecuación 1.
Si vamos a conectar nuestra propuesta de solución a la ecuación diferencial vamos a necesitar algunas derivadas.
La primera derivada es Yp(y)= U'1Y1+U1Y'1+U'2Y2+U2Y'2
Aquí está la suposición vamos a asumir que todo lo que u 1(t) y u 2 (t) es que van a satisfacer las siguientes. U'1Y1+U'2Y2=0 Ec. (3)
Con esta suposición la primera derivada se convierte Y'p(t)=U1Y'1+U2Y'2
Entonces la segunda derivada es
Y''p(t)= U'1y'1+U1Y''1+U'2Y'2+U2Y''2
Sustituyendo los valores en la ecuación 1 tenemos
Acomodando la ecuación y sacando factor común tenemos
Ahora, ambos Y 1 (t) y Y 2 (t) son soluciones de la ecuación 2 y por lo tanto el segundo y tercero son cero. Reconociendo esto y reorganizar un poco nos da,
Ec. (4)
Para simplificar las cosas a un mas vamos a suponer que la función p (t) = 1
En otras palabras, vamos a volver atrás y empezar a trabajar con la ecuación diferencial,
y'' + g(t)y' + r(t)y = g(t)
Si el coeficiente de la segunda derivada no fuera una división de manera que se convierte en un uno. La fórmula que vamos a estar recibiendo asumirá esto! Al hacer esto, las dos ecuaciones que queremos resolver por lo que para las funciones son desconocidas
Ec. 5
Ec. 6
Tengamos en cuenta que en este sistema sabemos las dos soluciones y así las dos únicas incógnitas aquí son u'1 y u'2. La solución de este sistema es en realidad bastante simple. En primer lugar, resolver la ecuación (5) para u'1, que conectará a la ecuación (6) y hacer algo de simplificación.
ec. 7
ec. 8
Por lo tanto, ahora tenemos una expresión para u’2. Al conectar esto en la ecuación (7) nos dará una expresión para u’1.
EC. 9
A continuación, vamos a notar que
(esto lo podemos resolver usando la regla de Cramer)
Recordemos que y 1 (t) y y 2 (t) son un conjunto fundamental de soluciones y así sabemos que el wronskiano no será cero
Finalmente, todo lo que tenemos que hacer es integrar la ecuación 8 y 9 con el fin de determinar lo que u 1 (t) y u 2 (t) son. Haciendo esto nos da:
Por lo tanto, siempre y cuando podamos hacer estas integrales, una solución particular de la ecuación diferencial es
Antes de proceder con un par de ejemplos que vamos a primera dirección de los asuntos relacionados con las constantes de integración que surgirán de las integrales. Poner en las constantes de integración dará lo siguiente.
La cantidad final entre paréntesis no es más que la solución complementaria con c 1 =-c y c 2 = k , y sabemos que si nos conectamos esto en la ecuación diferencial se simplifique a cero estos términos no añaden nada a la solución particular y lo que vamos a seguir adelante y asumir que c = 0 y k = 0 en todos los ejemplos.
Ejemplo 1 Determine una solución general a la ecuación diferencial siguiente.
2y''+18y=6tan(3t)
Solución
En primer lugar, ya que la fórmula de variación de parámetros requiere un coeficiente de uno delante de la segunda derivada Cuidemos de que antes de que se nos olvida. La ecuación diferencial que en realidad estaremos resolviendo es
y''+9y=3tan(3)
Lo dejaremos para que verifique que la solución complementaria para esta ecuación diferencial es
Yc(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)
Así pues, tenemos
El wronskiano de estas dos funciones es
La solución particular es entonces,
La solución general es,
Y(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)-(cos(3t)/3)ln│sec(3t)+tan(3t)│