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Vectores con manzanas y otras frutas [2/4]



¡Hola! Ya llego la parte 2 del minicurso de vectores Gracias a todos los que leyeron la primera parte y espero que este también sea de su agrado.






A estas alturas ya estamos en mas que preparados para lucirnos ante el mundo con nuestras habilidades manejando vectores, si no me creen vean lo siguiente:



Ahora díganme, ¿Qué se siente ver algo así sin caer en pánico? xD


(Los que sí estén en pánico, revisar la primera parte de esta serie aquí)



Todo lo aprendido lo seguiremos usando hasta la muerte ( al menos la muerte de esta serie de post) pero iremos añadiendo glamour conforme avanza el curso.

Esta vez aprenderemos otro punto de vista en lo que se refiere a vectores: La interpretación geométrica.



Empecemos...

¿Recuerdan que nuestro oficio imaginario era la venta de frutas? Bien, imaginen que el negocio no prospera demasiado y aún vendemos solamente manzanas, naranjas, fresas y sandias. Debido a esto, decides contratar a un experto y este te dice que la solución es acomodar las frutas en tu tienda de manera especifica. Te da unas instrucciones y un plano de como debe ser:


Poner las manzanas en el centro de la tienda y tomar este como punto de referencia para acomodar el resto de las frutas. Las fresas deben ir, desde la manzana, tres pasos a la derecha y un paso hacia la entrada. Las naranjas deberán ir cuatro pasos hacia la izquierda y dos pasos hacia la entrada. Las sandias solamente deben ir a dos pasos hacia la pared contraria a la entrada.






Después de que leíste las instrucciones varias veces y viste el plano por algunas horas, te diste cuenta de dos cosas:


1) Las instrucciones solo describen movimiento en lineas de camino, arriba-abajo e izquierda-derecha.

2) Eh... No, solo te diste cuenta de la anterior.



Entonces, como buen amante de las matemáticas decides hacer todo mas simple usando lo que ya sabes de vectores.

Decides que todo esa madeja de instrucciones confusas las expresaras como vectores. Los pasos a la derecha o arriba los llamaras "pasos positivos" y los que van a la izquierda o abajo les diras "pasos negativos". Entonces te das cuenta que solo basta poner las cosas en el siguiente orden para que sean vectores:




es decir, el lugar donde tu fruta irá, solo tendrá dos números; el primero sera para los pasos hacia la derecha-izquierda; el segundo para los que van arriba-abajo. Al final, obtienes estos vectores:



y ademas te das cuenta de que el lugar de la manzana también puede ser expresado como un vector:



¿Te das cuenta? ¡Con vectores pudimos describir exactamente el lugar donde va cada fruta!

Aquí ya podemos ver la primera mitad de nuestra interpretación geométrica: un vector son números bien ordenados que nos marcan un punto en algún espacio.





(En lenguaje matemático lo anterior suena muy feo, así que mejor no lo pongo)

Como te has de imaginar, para cuando ademas de a los lados y arriba o abajo también quieras decir adelante o atrás, solo bastara con agregar un numero mas al vector, y entonces tener un vector con tres componentes ( en 3D )



Sigamos con el mismo ejemplo. Ya tienes los puntos donde se deben ubicar cada fruta para que tu negocio tenga mas ventas. Pero tanta astucia matemática de tu parte ha hecho que te sientas inspirado y que notes algo muy importante: ¡El camino mas corto, partiendo desde la manzana, a una fruta no es siguiendo las componentes de tus vectores! (Excepto para llegar a la sandia, ahí da igual )

Efectivamente, si caminas los pasos que tus vectores dicen en cada componente siempre que quieras llegar a una fruta, te vas a cansar. El camino mas corto es ir en linea recta (absténgase de decir otra cosa físicos con teorías místicas). Entonces haces un dibujo del camino a seguir sobre el mismo plano que tenias en un inicio y te queda así:



Las cosas importantes a observar en las flechas son:

Tienen un inicio y un final (cola y punta)

Tienen un tamaño. En este caso es evidente que la flecha naranja es mas grande que la flecha verde. De aquí en adelante, al tamaño de la flecha le diremos "norma" (en honor a una gran mujer xD )

Apuntan hacia algún lado en especifico... Si no, no serian flechas. A esta característica le diremos "dirección".

Y aquí ya tenemos la otra mitad de nuestra interpretación: Los vectores pueden ser representados como "flechas" en un espacio, y estas tienen una norma y una dirección.

¿Cuando debemos tratarlos como flechas y cuando como puntos? Esto es a mera conveniencia. A veces es útil utilizar la flecha (por ejemplo para representar el camino mas corto a una fruta) y otras quizá se prefiera un punto (como al señalar lugares en un mapa). Al final de cuentas una no esta separada de la otra. Cuando tenemos un vector pintado como flecha, significa que tiene componentes y, al revés, si tenemos unas componentes significa que esta implícita una flecha.





Ahora solo faltan un par de cosas para terminar de entender a los vectores en forma geométrica.

¿Como saber cuanto mide la norma de un vector?

Para explicar esto usare solamente a la manzana y la naranja.
Si se fijan verán que la flecha junto con las lineas de los pasos nos forman un triangulo rectangulo:



Sabemos que de ese triangulo uno de sus lados mide 2 y el otro 4. De niños nos enseñaron que un tal Pitágoras nos regalo un forma de calcular cuanto mide el lado mas largo de estos triángulos elevado al cuadrado: a² + b² = c². En este caso la formula la usamos asi:




Bajo el mismo principio podemos hacer esto usando la notación de vectores y quedaría así:



¿Vieron lo que hice? Para calcular la norma de un vector solo debemos elevar cada una de sus componentes al cuadrado, sumarlas y luego sacar raíz,¡así de simple!. Noten las dos barritas que encierran a mi vector ( |n| ), asi se escribe cuando te refieres a la norma de un vector.

Mi resultado me dice que, hablando de tamaño, mi flecha naranja tiene lo de cuatro pasos y medio aproximadamente:





Las normas de los otros vectores se calcula de la misma forma y quedan asi:



Vean que el vector de la manzana tiene norma cero, o sea, no tiene tamaño. Al vector donde todas sus componentes son cero se le dice "vector cero" y su norma siempre es cero.


Un ultimo ejemplo: ¿Se acuerdan de los vectores "x" "y" del post pasado? Pues sus normas se calculan igual:



Es decir, sumo cada componente elevada al cuadrado y les saco raíz. ¡Vean que la norma de x es tres veces mas pequeña que la de y!

NOTA: Las normas de los vectores son numeros normalitos (escalares)





Ahora veremos la otra propiedad geométrica de los vectores: direccion.


Intuitivamente sabemos a lo que se refiere la direccion. Es decir, todas las flechas que tenemos apuntan para diferentes lados, o sea, tienen diferentes direcciones. Solo nos falta una forma de expresarlo y para esto usaremos ángulos.

Trabajemos con el vector de la naranja. Vean la siguiente ilustracion en movimiento para entender que es un angulo:



La cantidad que se recorre del circulo oscuro es el angulo. Se debe recorrer dicho angulo viajando en esa forma, contrario a las manecillas del reloj. Hay varias formas de expresar un angulo, el mas conocido son los grados hexagesimales, o sea, divides el circulo en 360 y cada rebanadita es un grado.

Definiremos la dirección de un vector como el angulo que se debe recorrer para poner al vector en su posición.

Esta propiedad es muy útil cuando se trabajan coordenadas polares, pero como no es este el caso, omitiremos por ahora el método analítico de obtenerlos. No se pierden de nada. Cabe mencionar, sin embargo, que un transportador, de esos que usábamos en clase de geometría cuando eramos niños, sirve de mucho en caso de querer un valor aproximado de dicho angulo.





¡Estamos listo para las sumas de vectores!

Hay métodos gráficos para hacer sumas de vectores. En estos usas una regla y mucha de tu paciencia. Pero se trata de un método muy rudimentario e inexacto. Nosotros ya somos niños grandes y queremos un nivel mas adecuado a nuestro intelecto, o sea, con manzanas y otras frutas.

Planteemos una situación hipotética: Digamos que gracias al nuevo acomodo de tu mercancía, el negocio crece y ahora ya estas en condiciones de vender una fruta mas. Decides que serán peras. Ahora falta saber donde acomodarlas.

El especialista que contrataste anteriormente te dice que la debes acomodar de tal forma http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/18644107/Vectores-con-manzanas-y-otras-frutas-3-4.htmlque la distancia entre las peras y las sandias sea la misma que la distancia entre las fresas y las manzanas, y ademas, que la distancia entre las peras y las fresas sea la misma que la distancia entre las manzanas y las sandias.


Una ilustración facilita comprender las palabras del especialista:



Para lograr esto con vectores, solo debes sumar. Cuando tu sumas dos vectores que tienen un mismo origen (en este cursos todos los vectores tendrán origen en la manzana) lo que sucedera es que al proyectar un paralelogramo (como el que se ve en el dibujo), nuestro vector resultante sera el que va desde el origen hasta el vértice opuesto. En este caso debemos sumar el vector de la sandia y el vector de la fresa para tener el vector de la pera:





Es decir, la pera debe estar ubicada tres pasos a la derecha y ninguno a arriba o abajo.

Veamos si entendimos. Queremos vender uvas y, según el especialista...

...deben ser colocadas en un lugar de tal forma que la distancia entre las uvas y las naranjas sea la misma que la distancia entre las manzanas y las peras, y ademas, que la distancia entre las uvas y las peras sea la misma que la distancia entre las de las manzanas y las naranjas.


Como sabemos, esto se hace sumando vectores, en este caso el vector naranja y el vector pera:



Y nuestro resultado dice que debemos acomodar las uvas a un paso a la izquierda y dos pasos hacia abajo:








Como ves, la interpretación geométrica de las sumas es fácil de entender, incluso para tres dimensiones. Para mas de tres dimensiones me mareo, así que mejor en otro momento. xD





Resta de vectores.


Imagina que quieres saber el "camino" a recorrer desde las uvas a las peras. Esto implica saber cuantos pasos tienes que dar (norma) y hacia donde mirar mientras caminas (dirección). Obviamente se trata de un vector. Para obtenerlo solo debemos restar los vectores involucrados.







Para saber como restar tus vectores debes hacer lo siguiente: Primero fíjate a que vector apunta la flecha de tu nuevo vector, en este caso apunta al vector p, entonces este debe ir primero en la resta. Luego te fijas en que vector inicia tu flecha, donde tiene la cola, en este caso en el vector u, ese es el vector que va después del signo de resta.

NOTA: Como te habrás dado cuenta, tu resultado dice que para que se cumpla lo que quieres, debes dar 4 pasos a la derecha y dos hacia arriba, sin embargo, para cumplir estrictamente lo que ves en tu dibujo, esos pasos los debes dar desde la cola de tu nuevo vector, es decir, desde las uvas. Para fines analíticos, este vector puede ser dibujado desde el origen (0,0), y arrojara resultados correctos. En ultimo post veremos un ejemplo de aplicación sobre relatividad galileana, ahí conoceremos la utilidad de esto.





Multiplicación de un vector por un escalar

A estas alturas ya no te debe confundir la palabra escalar; un numero normalito.

Geometricamente, un vector multiplicado por un numero escalar solamente hace mas grande el vector, ¿cuanto? tantas veces como el numero lo diga. Pongamos un ejemplo:

Tenemos nuestro vector de las uvas:



Pero lo queremos dos veces mas grande:



Ese vector lo obtenemos como ya sabemos:



Una cosa curiosa e importante de este tipo de operacion es que ademas de cambiar el tamaño, tambien podemos cambiar hacia donde apunta nuestro vector. Esto lo hacemos multiplicando un escalar negativo. Ejemplo:


Tenemos nuestro vector pera:



Ahora hacemos nuestra magia multiplicando por -1 y...



wuala (o como se escriba) ...







Y lo mejor para el final ¡Producto punto!

Situación: Un horrible terremoto sacudió la ciudad donde tienes tu negocio de frutas. Destruyo la mitad de tu mercancía. Solo te quedan uvas (son uvas muy resistentes), manzanas y naranjas. Pero el desastre movió todo de su lugar, incluyendo tu punto de referencia (manzana). Y como no tienes paredes ya - las destruyo el terremoto- se te complica mucho la vida de trabajar con vectores...

Pero no todo esta perdido. El especialista te dice que para vender rápido, recuperarte económicamente y volver a levantar tu negocio, debes acomodar tu mercancía con una técnica de mercadotecnia sagrada, creada por zeus, no conocida mas que por unos cuantos.

Estas son las instrucciones y un plano:

Así quedaron las frutas después del terremoto:




La técnica es algo "caprichosa". Dibuja una linea recta desde la manzana hasta la uva y midela:



Ahora dibuja una linea desde la naranja hasta la linea que ya tienes, de tal forma que se forme una especie de letra "T" perfecta:



Ahora, fíjate en los dos tramos en que se dividió la primera linea que dibujaste. Toma el tramo que esta mas cerca de la manzana y midelo:



Ahora solo multiplica estos dos números y el el resultado te lo pintas en la frente, es de buena suerte.

Está super loco esto ¿no? La verdad no se si funcione -no creo- pero lo que si se es que todo este proceso tiene un equivalente matemático mas simple de ejecutar:

Primero medimos la distancia de la manzana a la naranja y luego medimos la distancia de la manzana a la uva. Por ultimo medimos el angulo entre estas dos lineas, algo así:



Se ve más sencillo. Ahora solo mete en la calculadora los números que mediste, de la siguiente forma:



Y listo, el numero te lo pintas en la frente.

La verdad es que no hiciste nada diferente al procedimiento original. La distancia Du, la mediste en ambos métodos, pero el tramo cortado mas pegado a la manzana que mediste en el primero, en este nuevo procedimiento lo calculaste trigonometricamente y corresponde a la cantidad Dn * cos(angulo)


Bueno, y ¿todo esto que tiene que ver con el producto punto? Simple, lo que metes en la calculadora es otra forma de obtenerlo, solo que usando las normas de los vectores involucrado. Esto fue muy útil en este caso que no sabíamos las componentes de los vectores, sin embargo pudimos medir y obtener las normas. Para que se convenzan de que lo que digo es verdad, sigamos el siguiente ejemplo:

Imagina que nuestro número en la frente funciono y ya tenemos paredes y de nuevo la manzana esta en el centro de la tienda. Colocamos las uvas y las naranjas de acuerdo a los siguientes vectores:



y el lugar luce así:



Como quieres tener mas suerte, haces el producto punto entre el vector naranja y el vector uva, tal como ya lo aprendiste en el post pasado:



Y listo, pintalo en tu frente. Solo para corroborar, lo haremos con el otro método. El especialista te dice que el anglo entre los vectores naranja y uva tiene un angulo entre sí de 45°. Solo nos falta conocer las distancias de las uvas y las naranjas a la manzana, esto es la norma de los vectores, que aprendimos mas arriba a calcular:



Ahora solo sigue meter en la calculadora la formula :



y al presionar una tecla para ver el resultado nos da....




¡Wow! ¡Salio el mismo numero que por el método de componentes!

Entonces ya podemos afirmar que



o sea, que el producto punto de dos vectores es igual al producto de sus normas por el coseno del angulo que se forma entre esos dos vectores. Veremos la utilidad de esto en el siguiente post.

Hasta aquí la interpretación geométrica.









NUEVO POST - PARTE TRES

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