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Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]





Hola. Por fin la ultima parte sobre el tema =)

Esta vez veremos tres aplicaciones de vectores y un tema extra que seguro te sera útil si eres estudiante. Ya tenemos lo elemental para entender lo que veremos aquí. Si no has seguido esta serie, te recomiendo ver primero los tres post anteriores.

Los primeros dos ejemplos que veremos son muy sencillos y tienen que ver con el área de Matemáticas y de Química. Son relativamente entretenidos. Por ultimo lo mejor, del área de Física: centro de masa.

Estos ejemplos los explicare de forma sencilla para que cualquiera lo pueda entender, pero eso significa que probablemente sea de un post largo, no me gustan así (aun me siento tentado a editar la segunda parte de esta serie.); pero no hay relación entre ellos así que siéntete libre de leer solo aquellos que realmente te interesen.

Y para concluir mi introducción quiero decir que me encontré con la dificultad de cómo implementar las manzanas y otras frutas en estos ejemplos, así que solo las usare como números de mis incisos xD

Así que como inciso numero "manzana" les tengo un resumen de lo que ya sabemos.



.- RESUMEN

Esta hoja resume todo lo que ya vimos:





.- ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA

Este es un ejemplo básico de como se usan los vectores en situaciones meramente matemáticas.
Es entretenido y hasta cierto punto, fácil. Comencemos.

Es bien sabido que para trazar una recta solo se necesitan dos puntos. Algo asi:



Debe entenderse de la imagen anterior que los dos extremos de la recta se alargan infinitamente. Ahora, en una materia que se llama "geometría analítica" aprendemos que a esa recta le podemos agregar un par de propiedades. La primera sería que la podemos poner sobre un plano cartesiano para así poder decir la ubicación de cada uno de sus puntos. Algo así:



Y la otra cosa que podemos agregar es que existe una y solo una "receta" o "formula" que describe la posición de cada punto en la recta. Y se ve de la siguiente manera:



Donde la letra m significa cuan inclinada es la recta y la letra b significa el el punto sobre el eje "y" donde la recta pasa.

Ahora, b la podemos ver directamente de la gráfica, en nuestro caso es "3", pero m requiere de un pequeño calculo extra. Para esto debes conocer las coordenadas de dos puntos por donde pasa tu recta. En este caso ya vimos que pasa por un punto (0,3) que es donde "corta" al eje "y" y el punto (1, 4) que esta marcado con rojo en la parte superior derecha del plano. "m" se calcula de la siguiente manera:




Por lo tanto, nuestra receta para esta recta que dibujamos nos quedaría:



Esto quiere decir que las ubicaciones de todos los puntos se sacan usando esa receta. Ejemplo: Saquemos la ordenada correcta de un punto que tenga componente x= 5 ...



Esto quiere decir que sobre la recta esta el punto y dibujado se ve asi:



Como ya saben, esos puntos en la recta, tienen forma de vector, entonces son vectores. Cada que introducen una cantidad para "x" en la receta, obtendrán un valor para "y" y ambas formaran un vector.

Hay un punto de vista diferente y mas bonito para esto.

Así como está nuestra gráfica, tracemos la flecha o vector que va desde el origen hasta nuestro punto de mas abajo y llamemoslo "a":



Las coordenadas de nuestro vector son las mismas que las del punto (-1 , 2)

Ahora saquemos un nuevo vector haciendo la resta entre dos de los puntos (como vectores), digamos , la resta entre el punto de en medio y el vector "a" y llamemos a nuestro resultado "d":



Si graficamos este nuevo vector se ve así:



Ahora observen: ¿Qué cosa nos da si sumamos el vector "a" y el "d"?:



¡Nos da el punto por el que pasa la recta!

Ahora hagamos la suma del vector "a" y tres veces el vector "d":



¡También nos da otro punto sobre la recta!

Gráficamente lo anterior se ve así:



Es general, nosotros podemos obtener cualquier punto sobre la recta haciendo la suma , donde la letra "t" significa "tantas veces mas grande o chico el vectoe d ", o sea, t es un numero escalar. Esta suma nos da al final un vector con coordenadas (x,y) que corresponden a los puntos que están sobre la recta:



Donde "a" es un vector por donde pasa la recta, no importa cual con tal de que pase sobre ella, y "d" es el vector que tiene la misma inclinación que la recta. Por ejemplo, si hacemos que "d" este mas parado, la recta también se hace mas parada. o si lo hacemos mas acostado, la recta tambiénse acuesta, vean los dibujos:



Por esto se dice que la recta tiene la dirección del vector "d".

En nuestro caso, la ecuación vectorial de la recta queda así:



Donde nosotros solo debemos darle valores a t para tener un punto en la gráfica. Digamos que queremos que t=-1



O sea que nuestro punto se encuentra en:



Y solo para comprobar usemos la ecuación y=mx+b, para ver si nos da lo mismo, es decir, si al hacer la operación con x=-3, nos da la ordenada correcta:



¡Es correcto!

Este fue un ejemplo de uso de vectores en temas de matemáticas.



.- Balanceo de ecuaciones químicas

Podríamos definir una reacción química como el fenómeno donde uno o más compuestos se transforman en otros nuevos. Un ejemplo de esto seria respiración aerobia (la nuestra), donde entra oxigeno del aire, se revuelve con otra sustancia en nuestro cuerpo (glucosa) y como resultado obtenemos energía y liberamos de nuestros pulmones dióxido de carbono y vapor de agua.

En química escribimos la ecuación de la siguiente forma:




Ahora bien,Cuando recién nos enseñaban química nos dijeron que había una ley todo poderosa que estaba presente en toda reacción química: La ley de la conservación de la masa.


La masa no se crea ni se destruye, solo se transforma.


En otras palabras, todo lo que entra en una reacción química debe salir completamente. Es decir, en mi ecuación química debo tener tantos átomos de cada elemento en un lado, como en el otro.

Vean en la ecuación anterior que no se cumple esto, por ejemplo para el carbono, que hay seis de un lado y 1 del otro. Entonces decimos que la ecuación no esta balanceada.

La ecuación balanceada queda así:



Lo que se hace para balancear es poner números (llamados coeficientes) a lado de cada compuesto para lograr que en ambos lados de la ecuación haya el mismo numero de átomos por elemento. Por ejemplo el oxigeno: del lado izquierdo tenemos 6 del azúcar y 6*2 del oxigeno del aire que en total da 18 átomos de oxigeno. Ahora del lado derecho tenemos 6*2 en el dióxido de carbono y 6 del agua, que también da 18. Si cuentan los átomos de cada elemento verán que la ecuación esta bien balanceada.

¿Cómo se balancea?

Bueno, algunos sabrán del método por tanteo, que básicamente consiste en adivinar los coeficientes. Le buscas y le buscas hasta que quede balanceada. Pero como ya somos niños grandes, usaremos matemáticas ultra avanzadas.

Sigamos un ejemplo sencillo:

Cuando hacemos pasar corriente eléctrica en agua, podemos descomponerla en sus dos elementos constituyentes: el oxigeno y el hidrógeno gaseosos. A esto se le llama electrolisis. Ahora, podemos decir lo anterior en forma de una ecuación química:



Vean que no esta balanceada. Nosotros necesitamos encontrar los coeficientes correctos para cada molécula, o sea, encontrar los números "a" , "b" y "c" que se ven aquí:



Para esto nos inventaremos unos cuantos vectores. Las tres moléculas de toda la ecuación las podemos representar con un vector del siguiente tipo:




Entonces nuestra ecuación queda así:



Ahora hagamos nuestra magia con los vectores:



Y sabemos que dos vectores son iguales solamente si sos componentes son iguales. Entonces podemos igualar las componentes:



Lo que sigue es muy sencillo. A nuestra ultima incógnita ("c" ) le asignaremos el valor 1 y con eso calcularemos cuanto valen a y b.

Si c=1 entonces:



Y ahora que sabemos que a=2, calculamos b con la otra ecuación:



y por ultimo ponemos los valores en la ecuación química original:



¡Ya esta balanceada!

Ahora un ejemplo un poco mas complicado, pero que se resuelve de la misma forma.

El oxido de aluminio y el carbono reaccionan para formar el elemento aluminio y dióxido de carbono


La ecuación química sin balancear es así:



Nos inventamos vectores:



Y escribimos la ecuación en forma de igualdad vectorial con un coeficiente para cada molecula:



Hacemos la magia:



Igualamos componentes:



Ahora le damos el valor de 1 a nuestra ultima incógnita (en este caso "d" ) y obtenemos los demás valores

Si d=1 entonces:



y...



Si a= (2/3) entonces:



Y sustituimos nuestros resultados en la ecuación química original:



Esto ya está matemáticamente balanceado, pero a los químicos les gusta usar solamente números enteros, así que multiplicamos TODA la ecuación por un numero que me elimine esas fracciones, en este caso el numero tres:



y el resultado final es:






.-Centro de masa

Este es un perfecto ejemplo de la utilidad de los vectores en física.

Primero que nada, definiremos al centro de masa como un punto o ubicación que se calcula a partir de determinada situación. Esta situación tiene que ver con la ubicación de otras masas.

Supongamos que tenemos dos canicas del mismo tamaño, separadas entre si. El centro de masa de esas dos canicas es un lugar virtual entre ellas, en este caso justo a la mitad.



Ahora, imagina que con una varilla rígida pero exageradamente ligera unimos a las dos canicas:



Vean que el centro sigue en el mismo lugar. Ahora imaginemos que empujamos una de las canicas. Al hacerlo, nuestro "objeto" se moverá aproximadamente de la siguiente forma:



Si en vez de eso, lo empujamos desde la otra canica, el movimiento se parecería a esto:



Si queremos que nuestro objeto se mueva como un todo, entonces podemos empujar ambas canicas a la vez:



O empujar solamente el centro de masa:



El centro de masa de un conjunto de partículas, ya sea que estén separadas como las canicas, o juntas, como las moléculas de un un objeto, es un punto en donde su movimiento es equivalente a como si todas las fuerzas que actúan sobre un objeto se aplicara solamente sobre ese punto.

Cuando estudiamos, por ejemplo, como se mueve un auto (tomando al auto en su totalidad), es equivalente a estudiar como se mueve el centro de masa de un auto.

Muchos fenómenos que involucran masas separadas o un objeto con masa, los podemos estudiar solamente tomando en cuenta el centro de masa y sin tomar en cuenta la forma del objeto. Por ejemplo un pino de boliche. Su forma es complicada, pero si lo lanzamos por el aire, podemos estudiar muchas cosas sobre su movimiento poniendo atención solamente a su centro de masa.



La forma en como se calcula el centro de masa es sencilla, seguimos la siguiente receta, donde "r" son los vectores de la posicion, y m las masas:



Para ver como se aplica, pongamos un ejemplo: Tenemos dos canicas, la canica uno y la canica 2. Estas las tenemos ubicadas en un plano (imagina que estamos viendo el suelo desde arriba) entonces sabemos sus ubicaciones como vectores. Las dos canicas tienen la misma masa: 10 gramos.

Todo lo descrito lo vemos en la siguiente ilustración.




Es de esperar que el centro de masa esté entre las dos canicas, a la mitad exactamente. La receta la aplicamos así:

El vector de la posición de la canica uno, es r1 y el vector de la otra es r2. Como no hay mas partículas, hasta ahí usamos la formula:



Sustituimos nuestros valores:



Y resolvemos, como ya sabemos:







Ahora ubicamos nuestro nuevo vector en el plano:



¡Justo a la mitad! =D

Bueno, para terminar de entender hagamos un ejemplo mas. La misma situacion pero con una tercera canica pero esta vez de 20 gramos de masa, aquí el plano:



Como ahora tenemos tres partículas, a nuestra formula le agregaremos el elemento necesario:



Sustituimos valores y resolvemos:








y ahora vemos el punto en el plano:



Noten algo: El punto que nos salió esta a la mitad del camino entre el centro de masa que calculamos primero para dos partículas, y la tercera canica.



¡Es es como si el centro de masa fuera un partícula con la masa total del sistema interactuando con la tercera! Vean el dibujo:








Espero que de algo les sirva esta serie que hice.¡ Comenten!
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