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La Falacia de Montecarlo



ORÍGENES DE LA FALACIA DE MONTE CARLO:

En la anterior sección se señaló que en el siglo XIX muchos jugadores creían que podían ganar dinero en los juegos de azar fácilmente si aplicaban la denominada «Teoría de la Madurez de las Probabilidades», según la cual se presupone que los diferentes resultados de un juego de azar a la larga deberán aparecer una misma cantidad de veces entre más jugadas aleatorias ocurran, y por lo tanto se asume que cuando un resultado de un juego ha estado ausente dentro de un número de jugadas ocurridas, es porque tal resultado se encuentra en «proceso de maduración» y en consecuencia se cree que en adelante ese resultado rezagado deberá comenzar a aparecer muchas más veces cuando concluya ese proceso de maduración.

La Teoría de la Madurez de las Probabilidades se siguió denominando así cuando inició el siglo XX, pero luego, a partir de un hecho inusual que ocurrió en el Casino de Monte Carlo el 18 de agosto de 1913, pasó a ser conocida por los analistas de los juegos de azar como la «Falacia de Monte Carlo».



En efecto, ese día ocurrió que en una ruleta del Casino de Monte Carlo la bola cayó 26 veces consecutivas en números de color Negro, siendo ésta una de las más largas secuencias repetitivas de un mismo color en la ruleta francesa ocurridas en la historia. Los muchos jugadores que ese día estaban presentes en el Casino de Monte Carlo creían a pies juntillas en la Teoría de la Madurez de las Probabilidades, y por lo tanto, cuando observaron que el color Negro comenzó a aparecer muchas veces consecutivas, obviamente pensaron que el color Rojo ausente estaba atravesando por su «proceso de maduración» y que de seguro estaba próximo el momento en que el color Rojo comenzaría a aparecer varias veces consecutivas para que de nuevo imperara el balance y el Equilibrio Cósmico en esa ruleta.

Falacia de Monte Carlo ante veintiséis repeticiones del color negro en la ruleta.



De este modo, cuando el color Negro completó las primeras 12 apariciones consecutivas, ningún jugador ya le apostaba a ese color, sino que todos muy exaltados se apresuraban a poner su dinero sobre el color Rojo, duplicando, triplicando o quintuplicando las apuestas, bajo la creencia de que ya no podía prolongarse por más tiempo esa secuencia repetitiva del color Negro. Sin embargo, el color Negro siguió apareciendo imperturbable, y cuando llegó a la repetición número 20 todos los jugadores literalmente en un estado de histeria colectiva se abalanzaron a colocar enormes apuestas sobre el color Rojo, porque pensaban que en ese momento las probabilidades para que el color Negro se repitiera una sola vez más eran de una entre un millón. Lamentablemente, en esa ruleta el color Negro apareció de nuevo, y además luego se repitió hasta completar las 26 apariciones consecutivas.



Si en esa mesa de ruleta no hubieran regido los límites de las apuestas máximas, y si al comienzo de la inusual serie repetitiva de las 26 apariciones del Negro un jugador hubiera colocado un solo franco en ese color y en las siguientes jugadas hubiera seguido apostando al Negro con la totalidad del dinero de cada premio previamente ganado, entonces al completar la serie de las 26 repeticiones del Negro hubiera obtenido de ganancias un total de 67.108.864 francos. Pero lo que realmente ocurrió fue que decenas de jugadores perdieron millones de francos al apostarle al Rojo esperando ilusamente que ese color completara su «proceso de maduración» y que reapareciera de forma repetitiva para reestablecer el equilibrio respecto del color Negro.

Esta historia ocurrida hace un siglo en el Casino de Monte Carlo, años más tarde fue reseñada en The New York Times el 29 de enero de 1933, en una nota periodística titulada Gloomy days along the sunny riviera. Posteriormente, los matemáticos Darrell Huff y Irving Geis, en su obra titulada How to take a chance (1959), hicieron referencia a esa misma historia para pasar a denominar a la Teoría de la Madurez de la Probabilidades como la Falacia de Monte Carlo en honor de ese mítico casino, nombre con el que se le conoce hasta la actualidad.

EXPLICACIÓN DE LA FALACIA DE MONTE CARLO Y SUS MODALIDADES:

Como se ve, la Falacia de Monte Carlo, antes conocida como la Teoría de la Madurez de las Probabilidades, consiste en creer que en los juegos de azar en que ocurren jugadas cuyos resultados aleatorios son independientes entre sí, existe algún tipo de nexo físico, lógico, causal, probabilista o matemático que necesariamente ocasiona que los resultados de unas jugadas estén condicionados por los resultados ocurridos en otras jugadas.

La forma más común de la Falacia de Monte Carlo es creer que los resultados aleatorios ocurridos en jugadas del pasado, necesariamente condicionan las probabilidades de los resultados que aparecerán en las jugadas futuras, fenómeno que se supone es impulsado por la tendencia a que todos los posibles resultados que puede arrojar el juego a la larga deberán aparecer una misma cantidad de veces entre más jugadas ocurran.



Quienes creen en la Falacia de Monte Carlo (conocida en inglés como Gambler's Fallacy) construyen falsas premisas como las siguientes: «Un resultado aleatorio tiene más probabilidades de ocurrir, si no ha ocurrido durante cierto periodo de tiempo»; o «Un resultado tiene menos probabilidades de ocurrir, si no ha ocurrido durante cierto periodo de tiempo».



También es posible del mismo modo incurrir en la denominada «Falacia Inversa del Jugador» (Inverse Gambler's Fallacy), bajo la cual se llega a las siguientes falsas premisas: «Un resultado aleatorio tiene más probabilidades de ocurrir, si ocurrió recientemente»; o «Un resultado aleatorio tiene menos probabilidades de ocurrir, si ocurrió recientemente».

Todas esas premisas son falsas, pues si fueran completamente ciertas, entonces todas tendrían el mismo grado de verdad y de aplicación en cualquier jugada aleatoria realizada, llevando siempre en la práctica a resultados que son mutuamente excluyentes entre sí. Por ejemplo, si en la ruleta francesa se observa que durante 4 lanzamientos de la bola ha aparecido consecutivamente el color Rojo, entonces bajo la falsa premisa de que «Un resultado aleatorio tiene más probabilidades de ocurrir, si no ha ocurrido durante cierto periodo de tiempo» se debería concluir que en el siguiente lanzamiento debería aparecer el color Negro, porque ese color no ha aparecido durante 4 lanzamientos consecutivos. Pero en el mismo ejemplo, bajo la falsa premisa de que «Un resultado aleatorio tiene más probabilidades de ocurrir, si ocurrió recientemente», también sería válido concluir que en el siguiente lanzamiento deberá aparecer de nuevo el color Rojo, ya que ese es el color que más veces ha ocurrido recientemente superando al Negro. Pero igualmente, bajo la falsa premisa de que «Un resultado aleatorio tiene menos probabilidades de ocurrir, si ocurrió recientemente», también sería válido concluir que ahora deberá aparecer el color Negro, porque las probabilidades de aparición del Rojo se han reducido debido a que ya ha aparecido muchas veces recientemente.

No hay duda de que todas esas conclusiones son falaces, pues lo que realmente ocurre en cada jugada realizada en la ruleta es que, independientemente de los resultados previos ocurridos, la probabilidad de aparición del color Rojo o del color Negro siempre se mantiene constante en un valor equivalente a P = 18/37 = 0,4864.

Por lo tanto, no hay fundamento para creer que las probabilidades de ocurrencia de un resultado en una jugada individual se reducen o se incrementan en consideración a lo mucho o poco que ese resultado ha aparecido en las jugadas del pasado, conclusión que es válida en todo tipo de juegos de azar: lanzamiento de una moneda al aire, lanzamiento de dados, ruleta francesa o americana, etc.



ERRORES DE LA FALACIA DE MONTE CARLO POR LA CREENCIA EN UNA FALSA RELACIÓN DE CAUSALIDAD:

Los seguidores de la Falacia de Monte Carlo creen en una concepción muy errónea sobre lo que significa una «relación de causalidad» a la luz de la ciencia.

En efecto, en la Naturaleza a diario ocurren millones y millones de fenómenos, y generalmente se observa que no existe una relación de condicionamiento físico−mecánico entre unos fenómenos y otros. En tal caso se dice que ambos fenómenos son «independientes entre sí», es decir, la ocurrencia del uno no tiene nada que ver con la ocurrencia o no ocurrencia del otro. Por ejemplo, el hecho de que alguien decida dormir una siesta, no tiene nada que ver con el hecho de que una hora después repentinamente llueva en Australia; del mismo modo, el hecho de que un sujeto decida desayunar con tostadas untadas de mermelada, nada tiene que ver con el hecho de que más tarde a 5 cuadras de su casa un auto choque contra otro; y de igual forma, el hecho de que una niña salga a jugar a la playa de Copa Cabana un día muy soleado, nada tiene que ver con el hecho de que repentinamente se resfríe el Primer Ministro del Reino Unido, etc.

Pero asimismo, dentro del gran conjunto de fenómenos que ocurren diariamente en la Naturaleza, hay algunos que para poder existir necesitan que previamente haya ocurrido otro, es decir, existe una relación de causalidad, una relación de causa a efecto, una relación material y objetiva de condicionamiento físico−mecánico entre unos fenómenos y otros. En tal caso se dice que ambos fenómenos son «dependientes entre sí», es decir, la ocurrencia del uno condiciona la posibilidad de que ocurra o no ocurra el otro. Por ejemplo, el hecho de que una semilla pueda convertirse en un gran árbol, depende de que la semilla sea colocada en un adecuado terreno donde cuente con la suficiente humedad, con nutrientes y con la luz solar que luego necesita para crecer; del mismo modo, el hecho de que un barril de pólvora explote, depende de que se produzca o no una chispa que pueda dar inicio a esa reacción explosiva; igualmente, si alguien arroja una cáscara de banana en la acera, entonces la ocurrencia de ese hecho puede aumentar las probabilidades de que cualquier persona sufra un accidente al pisar esa cáscara; del mismo modo, para que puedan formarse nubes en el cielo, es necesario que previamente el agua se haya calentado hasta evaporarse, etc. En todos estos ejemplos claramente se observa que la ocurrencia de unos hechos necesariamente condiciona la posible ocurrencia de los otros.

En el caso de los fenómenos aleatorios, como son los resultados que se producen en los juegos de azar, sabemos que en su mayoría son independientes los unos de los otros, es decir, no hay una verdadera relación de causalidad entre la aparición de un resultado y el que aparecerá a continuación en una nueva jugada. Esto es muy claro en los denominados «Juegos con Reemplazo», es decir, aquellos juegos en los cuales cuando en una jugada aparece un determinado resultado no se excluye su aparición en las jugadas futuras, como sucede cuando de una urna se extrae al azar una balota numerada para escoger al ganador del premio en una rifa y a continuación esa balota es reintegrada a la misma urna para realizar un nuevo sorteo, o como ocurre cuando se lanza un dado sobre una mesa pues en cada nuevo lanzamiento siguen teniendo validez todos los seis números de las seis caras del dado, o como ocurre en la ruleta francesa pues en cada nueva jugada nunca se excluye el número del cilindro que previamente salió y la bola puede detenerse por igual en cualquiera de los 37 números válidos. Es decir, en todos estos casos las probabilidades de éxito o de fracaso permanecen constantes, las probabilidades de acertarle a un resultado no disminuyen ni se incrementan, porque en cada nueva jugada el jugador siempre se enfrenta al mismo número de posibles resultados válidos.

En cambio, la existencia de una relación de causalidad o de dependencia entre los resultados aleatorios sí se observa claramente en los denominados «Juegos sin Reemplazo», es decir, aquellos en los cuales un resultado aleatorio que ha aparecido en una jugada no es reemplazado inmediatamente y queda excluido de las jugadas futuras. Esto ocurre en muchos juegos de cartas, como el póquer, el baccarat, el bridge o el blackjack, cuando las cartas que son extraídas del mazo una vez jugadas sobre la mesa no son reintegradas de inmediato al mazo, lo cual ocasiona que los futuros resultados del juego sean dependientes de los resultados ocurridos en las jugadas previas: por ejemplo, cuando en el blackjack durante las primeras jugadas aleatoriamente quedan afuera todos los ases del mazo, y obviamente esto ocasiona que en las jugadas futuras ningún jugador ya podrá obtener un «Blackjack Natural» conformado por un as y cualquier carta de diez puntos.

La Falacia de Monte Carlo opera básicamente respecto de los denominados «Juegos con Reemplazo», porque el jugador llega a creer que en esos juegos es cierto que las probabilidades de éxito o de fracaso se alteran en cada nueva jugada según hayan sido los resultados que aparecieron en las jugadas previas, desconociendo así que en realidad en cada nueva jugada siempre se enfrenta a las mismas probabilidades porque los resultados previamente aparecidos nunca son excluidos y no condicionan la aparición de los resultados futuros: por ejemplo, en cada lanzamiento de una moneda siguen siendo dos los posibles resultados, en cada lanzamiento de un dado siguen siendo seis los posibles resultados, en cada lanzamiento de la bola en la ruleta francesa siguen siendo 37 los posibles resultados, etc..

ERRORES DE LA FALACIA DE MONTE CARLO AL CONFUNDIR LA PROBABILIDAD INDIVIDUAL DE UN EVENTO CON LA PROBABILIDAD GLOBAL DE UN EVENTO:

El origen de la Falacia de Monte Carlo también se encuentra en el hecho de que los jugadores pueden llegar a confundir fácilmente lo que es el comportamiento esperado de un juego en una sola jugada, con el comportamiento esperado de un juego a lo largo de numerosas jugadas.

En efecto, desde una «Óptica Estática» cada posible resultado, considerado como un evento aleatorio individual, tiene una determinada probabilidad de ocurrencia en una sola jugada: por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda la probabilidad de que en una sola jugada aparezca la Cruz es de 1/2 = 0,5; y en un dado normal la probabilidad de que en una sola jugada aparezca cualquiera de sus seis números es de 1/6 = 0,1666; y tratándose de la ruleta francesa la probabilidad de que en un sola jugada aparezca cualquiera de sus 37 números es de 1/37 = 0,0270.

Pero también sabemos que desde la «Óptica Dinámica» cuando se registra la ocurrencia de numerosos resultados aleatorios aparecidos en un juego de azar, entonces generalmente se observa que en el comportamiento global del juego algunos resultados pueden aparecer más veces de lo previsto por encima de su probabilidad individual de ocurrencia, y en cambio otros resultados pueden aparecer menos veces de lo previsto por debajo de su probabilidad individual de ocurrencia. Por ejemplo, en 1.000 lanzamientos de una moneda tal vez se podría observar que la Cruz apareció 488 veces mientras que la Cara apareció 512 veces, lo que erróneamente llevaría a pensar que la probabilidad de aparición de la Cruz es de 488/1.000 = 0,488 y que la probabilidad de aparición de la Cara es de 512/1.000 = 0,512, muy superiora a la probabilidad individual de 0,50. Y del mismo modo, en 1.000 bolas jugadas en una ruleta quizá se podría observar que el cero (0) apareció 36 veces superando su promedio esperado, lo que llevaría a pensar que su probabilidad de aparición es de 36/1.000 = 0,036, muy superior a su probabilidad individual de 0,0270.

Pero lo que realmente sucede es que no se puede confundir la probabilidad de ocurrencia de un evento visto desde la Óptica Estática, con la probabilidad de ocurrencia del mismo evento visto desde la Óptica Dinámica. Es decir, es evidente que la probabilidad individual de ocurrencia de un resultado aleatorio en una sola jugada es «independiente» de las veces que realmente ocurre ese resultado dentro del comportamiento global de un juego a lo largo de varias jugadas realizadas. Sin embargo, como lo hemos visto, desde el siglo XIX se comenzó a consolidar en el imaginario colectivo de los jugadores la Falacia de Monte Carlo, que consiste en creer que el comportamiento global de los resultados de un juego de azar influye alterando directamente la probabilidad individual de ocurrencia que le corresponde a cada posible resultado en una sola jugada. En otras palabras, falsamente se ha pensado que la probabilidad individual de ocurrencia de un resultado aleatorio en una sola jugada es un «fenómeno dependiente» del comportamiento global que ha tenido el juego a lo largo de varias jugadas.

Por ejemplo, si se ha lanzado una moneda al aire 4 veces consecutivas y en todas esas ocasiones ha aparecido sólo la Cruz, entonces falazmente se cree que ese comportamiento global del juego «condiciona» la probabilidad individual de ocurrencia de la Cruz en la siguiente jugada, y por lo tanto se piensa que en la siguiente jugada la probabilidad de que de nuevo aparezca la Cruz se reduce sustancialmente y por lo tanto se da por hecho que deberá aparecer la Cara porque mágicamente las probabilidades individuales de ocurrencia de ese resultado opuesto aumentan más allá de P = 1/2 = 0,5. Este razonamiento es totalmente falaz, porque independientemente de cual sea el comportamiento global de los numerosos lanzamientos de la moneda, en cada jugada la probabilidad de que aparezca tanto la Cara como la Cruz se mantiene igual en: P = 1/2 = 0,5.

Así, la probabilidad de que al lanzar la moneda la Cruz aparezca 2 veces seguidas es de 0,5×0,5 = 0,25, es decir, la probabilidad es de 1 entre cada 4 intentos, y la probabilidad de que la Cruz aparezca 3 veces seguidas es de 0,5×0,5×0,5 = 0,125, es decir, la probabilidad es de 1 entre cada 8 intentos diferentes, y así sucesivamente. Si en 4 lanzamientos de la moneda la Cruz ha aparecido 4 veces consecutivas, entonces el creyente en la Falacia de Monte Carlo piensa que la probabilidad de que la Cruz salga 5 veces consecutivas es de 0,031 (es decir: 0,5×0,5×0,5×0,5×0,5 = 0,03125), y por lo tanto erróneamente concluye que la probabilidad para que en el próximo lanzamiento la Cruz aparezca por quinta vez se ha reducido a 1 entre cada 32 intentos (porque: 1/32 = 0,03125), y en consecuencia da por hecho que en el próximo lanzamiento deberá aparecer necesariamente la Cara que es el resultado opuesto porque se supone que sus probabilidades de ocurrencia han aumentado mientras que han decrecido paulatinamente las probabilidades de aparición de la Cruz.

Sin embargo, en cada lanzamiento de la moneda la probabilidad de que aparezca tanto la Cara como la Cruz se mantiene constante en P = 1/2 = 0,5, porque la mayor ocurrencia repetitiva de un resultado dentro del comportamiento global del juego no altera ni condiciona para nada la probabilidad individual de ocurrencia que le corresponde a cada resultado en una sola jugada. En cada lanzamiento de la moneda la Cara y la Cruz siguen manteniendo la misma probabilidad de aparición, independientemente de cuántas veces en el pasado haya salido la Cara o la Cruz dentro del comportamiento global del juego. La falacia radica entonces en creer que el comportamiento global del juego condiciona las futuras probabilidades de ocurrencia individual de cada resultado en cada jugada.

Falacia de Monte Carlo en probabilidades con dados.
De igual manera, imaginemos que en una mesa un par de dados han sido lanzados 10 veces consecutivas, dentro de las cuales en 7 ocasiones han aparecido resultados cuya sumatoria de los puntos de los dos dados es igual a 7, y entonces bajo la influencia de la Falacia de Monte Carlo se podría pensar erróneamente que la probabilidad de aparición individual de combinaciones cuya sumatoria es 7 puntos es equivalente a un 70%, y eso puede llevar a creer falsamente que en la siguiente jugada tiene mayores probabilidades de aparición un puntaje 7 que cualquier otro puntaje de los dos dados.

Sin embargo, aunque «globalmente» este juego pueda tener un determinado comportamiento fluctuante en una serie corta o en una serie larga de resultados aparecidos, eso en cada jugada no reduce ni aumenta las probabilidades individuales de aparición de cada posible resultado. Así, en cada lanzamiento de los dos dados siempre pueden aparecen 36 posibles combinaciones diferentes de distinto valor (6×6 = 36), de las cuales en verdad sólo existen 6 combinaciones de los dos dados que suman 7 puntos, es decir, en cada lanzamiento de los dados la probabilidad de aparición individual del puntaje 7 sigue siendo sólo de: P = 6/36 = 0,1666; y esta probabilidad para nada se aumenta o se disminuye independientemente de los resultados previos aparecidos.

La falacia siempre reside en creer que el comportamiento global del juego o que las jugadas previas condicionan las verdaderas probabilidades matemáticas de aparición futura de cada resultado posible. Hasta nuestros días han sido inventados innumerables falsos sistemas para vencer la Ventaja Matemática de la Banca en diferentes juegos de azar que se basan en esta gran Falacia de Monte Carlo, y realmente logran seducir la mente del jugador incauto que no puede percibir la enorme diferencia existente entre las probabilidades de aparición individual de cada resultado y las estimaciones estadísticas basadas en el comportamiento global del juego. Por supuesto, los dueños de los casinos son muy felices cuando algún presunto Salta−Bancas promueve la aplicación de estos falsos sistemas de apuestas y los jugadores ilusionados concurren masivamente para probarlos en las mesas de juego, donde comprueban que la cruda realidad es que la «Variabilidad» siempre introduce cientos, miles o millones de resultados impredecibles y cambiantes en el comportamiento global de cualquier juego de azar, pero eso no equivale a que se altere la probabilidad individual de ocurrencia de cada resultado en cada jugada, y por lo tanto la Ventaja Matemática de la Banca se mantiene incólume, mientras que el jugador pierde dinero tratando inútilmente de vencerla con fundamento en una falsa creencia.

ERRORES DE LA FALACIA DE MONTE CARLO POR UNA MALA INTERPRETACIÓN DE LA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS:

Ahora bien, teniendo en cuenta los alcances de la Falacia de Monte Carlo antes explicados, aquí cabe preguntar: ¿Qué es lo que tercamente lleva a muchos jugadores a creer que unos resultados aleatorios ocurridos en el pasado, necesariamente condicionarán la probabilidad de aparición futura de otros resultados aleatorios, desconociendo que entre esos resultados aleatorios no existe un nexo de causalidad y que son independientes entre sí?

La respuesta radica en que los creyentes en la Falacia de Monte Carlo también creen en una interpretación muy errónea de la Ley de los Grandes Números, concepción según la cual los resultados aleatorios de un juego a la larga aparecerán una misma cantidad de veces entre más jugadas ocurran, lo que supone que los resultados que se rezagan al permanecer ausentes durante un tiempo a la larga deberán aparecer más veces para igualar a aquellos resultados que ya han aparecido con más frecuencia. En otras palabras, la Ley de los Grandes Números es presentada como la «mano invisible» que mágicamente y tras bambalinas obliga a los resultados aleatorios que se han rezagado a comenzar a aparecer más veces para que igualen a aquellos resultados aleatorios que han aparecido con más frecuencia, y por lo tanto para los creyentes de la Falacia de Monte Carlo es la Ley de los Grandes Números la que establece la relación de causalidad y de dependencia entre los resultados ocurridos en el pasado y los que ocurrirán en el futuro.

Lamentablemente, esa es una interpretación muy errónea de los verdaderos alcances de la Ley de los Grandes Números, pues la correcta concepción de esa ley no implica necesariamente que al final de los tiempos ocurrirá realmente un estado de «Equilibrio Cósmico», de compensación o de igualación entre los resultados más rezagados y los resultados más salidores.

En efecto, recordemos que Gerolamo Cardano (1501−1576) fue el primero que, a través de simples pruebas empíricas, sugirió la existencia de ciertos límites generales que al parecer determinan la regularidad del comportamiento de ciertos fenómenos aleatorios como el lanzamiento de monedas o de dados. Sin embargo, fue Jacob Bernoulli (1654−1705), quien después de 20 años de pruebas y cavilaciones, postuló el denominado «Teorema Áureo», según el cual durante un largo número de ensayos aleatorios se debe observar que el número de apariciones de los resultados aleatorios se aproxima al promedio dado por su respectiva probabilidad. Luego, Siméon Denis Poisson (1781−1840) profundizó mucho más en el estudio y la formulación del Teorema Áureo, y fue el primero que lo bautizó como «La Loi des Grands Nombres» (La Ley de los Grandes Números). Después otros matemáticos contribuyeron a teorizar, probar y estudiar nuevos aspectos de la Ley de los Grandes Números, incluyendo a Pafnuty Chebyshev (1821−1894), Andrej Markov (1856−1922), Émile Borel (1871−1856), Francesco Cantelli (1875−1966) y Andrey Kolmogorov (1903−1987).

Así, en la actualidad la formulación más conocida de la Ley de los Grandes Números dice así: «Una sucesión de variables aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad común obedece a la Ley de los Grandes Números cuando la media de las muestras de las variables tiende a la media de las esperanzas de las variables aleatorias de la sucesión, según el número total de las variables aumenta».

En el campo de la Teoría de la Probabilidad la anterior definición de la Ley de los Grandes Números se aplica al hablar de Frecuencia Absoluta y de Frecuencia Relativa, ya que a la luz de esa ley se afirma que entre más y más resultados ocurran en una serie de ensayos aleatorios, entonces se observará que el valor de la Frecuencia Relativa de un resultado específico de la serie se aproximará paulatinamente al valor de la probabilidad de ocurrencia individual que le corresponde a ese mismo resultado, y cuando ambos valores coincidan se alcanzará el ideal estado de Regularidad Estadística.

Recordemos que la Frecuencia Absoluta (concepto que fue analizado aquí) es el número total de veces que apareció un resultado dentro de una serie de ensayos aleatorios realizados. Mientras que la Frecuencia Relativa es el cociente que se obtiene al dividir el número total de veces que apareció un determinado resultado sobre la cantidad total de ensayos aleatorios realizados, y este valor que siempre es relativo y fluctuante, según la Ley de los Grandes Números se debe aproximar paulatinamente al valor de la probabilidad de ocurrencia individual que le corresponde a ese resultado aleatorio entre más ensayos se ejecuten.

Por ejemplo, si en 1.000 lanzamientos de una moneda no trucada la Cara apareció 552 veces, entonces se concluye que la Frecuencia Absoluta de la Cara fue de 552 repeticiones, pero su Frecuencia Relativa fue de 552/1.000 = 0,552 (o 55,2%), y según la Ley de los Grandes Números, entre más lanzamientos se hagan de esa moneda, este último valor fluctuante de la Frecuencia Relativa tenderá a aproximarse hacia el valor de la probabilidad de ocurrencia individual que le corresponde a la Cara, que es de: P = 1/2 = 0,50 (o 50%).

Como se ve, la Ley de los Grandes Números simplemente se refiere a una tendencia que puede darse en el comportamiento global de un juego de azar cuando se observa que el valor de la Frecuencia Relativa de un resultado aleatorio converge hacia el valor de probabilidad que le corresponde a ese mismo resultado aleatorio. Pero lo más importante que se debe anotar, es que la presencia de esa relación de «convergencia» entre esos dos valores no equivale a que necesariamente en algún momento todos los posibles resultados del juego de azar aparecerán un mismo número de veces entre más jugadas ocurran, hasta alcanzar un estado ideal de «Equilibrio Cósmico».

Simulación Ley de los Grandes Números y Falacia de Monte Carlo.
Precisamente, la gráfica de al lado es una simulación de la forma como opera la Ley de los Grandes Números, y allí se observa que cada punto que aparece en la imagen representa el lanzamiento al aire de una moneda no trucada, correspondiendo los puntos rojos a apariciones aleatorias de la Cara, mientras que los puntos azules son apariciones aleatorias de la Cruz; y el circulo de al lado indica el porcentaje de apariciones que alcanzan la Cara y la Cruz entre más lanzamientos ocurren de la moneda (este último valor es el mismo de la Frecuencia Relativa de cada uno de esos resultados opuestos de la moneda). Se sabe que la probabilidad de aparición de la Cruz en un solo lanzamiento de la moneda es de P = 1/2 = 0,50 (o 50%), y justamente en la gráfica se observa que entre más lanzamientos ocurren de la moneda, más se manifiesta la convergencia de la Frecuencia Relativa de la Cruz hacia su valor de probabilidad individual de aparición, y ese mismo tipo de convergencia también se observa en lo que se refiere a las apariciones de la Cara (globalmente ambos resultados aparecen con la tendencia a ocupar el 50% del total de los lanzamientos de la moneda). Pero nótese que la existencia de esa relación de convergencia no equivale a que al final de los lanzamientos de la moneda se llegará a un estado en el cual son iguales el número de apariciones de la Cruz y de la Cara, o que en algún momento el resultado que está más rezagado logrará reducir la diferencia respecto del resultado que más aparece, o que como en una carrera de relevos los resultados opuestos de la moneda se turnan a intervalos para aparecer más frecuentemente durante un tiempo y luego permanecer ausentes por otro tiempo para garantizar así el equilibrio final.

Y la razón fundamental por la cual no necesariamente ocurre esa igualación, compensación o «Equilibrio Cósmico» entre los resultados posibles de un juego de azar, es porque sobre el comportamiento global de todo juego de azar también rigen los límites de la denominada Desviación Estándar (concepto que fue analizado aquí y aquí). En efecto, el modelo frecuentista de la probabilidad establece que si una moneda es lanzada aleatoriamente al aire 100 veces, se debería observar que la Cara aparece 50 veces y la Cruz aparece otras 50 veces, lográndose así la hipotética igualación de los resultados. Pero todos sabemos por experiencia y por observación que ese modelo ideal de la probabilidad frecuentista en verdad no se da siempre en el mundo real, pues por ejemplo cuando una moneda es lanzada al aire en tandas de 100 lanzamientos, se observará que algunas veces la Cara aparece menos de 50 veces, y en otras ocasiones aparece mucho más de 50 veces, es decir, generalmente la Cara dentro de 100 lanzamientos de la moneda tiende a aparecer menos veces o más veces de las esperadas.

Siempre un resultado aleatorio dentro de un número creciente de jugadas tiende a dispersarse por defecto o por exceso respecto de su promedio de apariciones esperadas, dispersión que ocurre dentro de los límites de la Desviación Estándar, y ésta no desaparece nunca entre más jugadas ocurran, lo cual simplemente significa que el desequilibrio entre los resultados aleatorios tiende a subsistir a pesar de la influencia de la Ley de los Grandes Números. En otras palabras, a la luz de las matemáticas lo único que se puede afirmar con certeza es que se espera que un resultado aleatorio pueda llegar a aparecer un determinado número de veces dentro de una cantidad de ensayos realizados, pero esa cantidad de veces que posiblemente puede llegar a aparecer ese resultado aleatorio siempre estará influenciada por la dispersión que se da dentro de los límites de la Desviación Estándar, lo cual implica que en algunas ocasiones el resultado aleatorio aparecerá menos veces de las esperadas y otras ocasiones aparecerá más veces de las esperadas, pero en ningún momento se puede afirmar que la Ley de los Grandes Números implica que un resultado que ha aparecido rezagado dentro de los límites de la Desviación Estándar deberá necesariamente igualar al resultado más salidor.

En síntesis, la Ley de los Grandes Números, en su correcta interpretación debidamente probada mediante las matemáticas, sólo indica que entre más jugadas ocurran, la Frecuencia Relativa deberá moverse hacia el valor de la probabilidad de ocurrencia de un determinado resultado aleatorio, y eso presupone siempre la existencia de un comportamiento fluctuante del resultado aleatorio para que precisamente su Frecuencia Relativa pueda variar hacia esa tendencia dentro de los límites de la Desviación Estándar. Por lo tanto, la Ley de los Grandes Números no significa que a la larga necesariamente desaparecerá el margen de la Desviación Estándar que afecta a todo resultado aleatorio, o que ocurrirá de forma inmediata la igualación entre las apariciones de los resultados opuestos, o que sucederá la igualación entre los resultados rezagados y los más salidores, como erróneamente lo piensan muchas personas creyentes de la Falacia de Monte Carlo.

SITUACIONES ABSURDAS GENERADAS POR LA APLICACIÓN DE LA FALACIA DE MONTE CARLO:

Para mostrar lo absurdo que resulta creer en la Falacia de Monte Carlo, a veces se hace referencia a situaciones extremas que conducen a resultados que son muy ridículos o absurdos desde la óptica de la racionalidad, la lógica y las matemáticas.

Por ejemplo, está el caso del señor que con su esposa ya han tenido 4 hijas, y han decidido procrear un nuevo descendiente bajo la convicción de que esta vez es más que seguro que será un varón, porque de manera errónea ellos consideran que es altamente improbable que se complete 5 niñas nacidas en orden consecutivo, y por lo tanto es el momento de que ya se produzca el resultado contrario que está muy «atrasado» o «rezagado» en aparecer. Sin embargo, lo que no comprende esta pareja de esposos es que en cada ocasión la probabilidad de que el futuro hijo nazca niño o niña se mantiene igual, es decir, la probabilidad sigue siendo de 1 opción favorable sobre 2 sexos posibles (1/2 = 0,5).

Falacia de Monte Carlo desvirtuada por Distribución Binomial.

Falacia de Monte Carlo desvirtuada en hoja de cálculo Excel.

Si en este caso se usa la hoja de Excel para aplicar la función de cálculo de la probabilidad según la Distribución Binomial (DISTR.BINOM), fácilmente se obtiene como resultado que la probabilidad de que 5 niñas aparezcan en 5 intentos consecutivos es muy baja, sólo del 0,03125. Este cálculo haría pensar que es muy cierto que la pareja de esposos ya debería tener un niño en el quinto intento y no una niña, porque es muy poco probable completar 5 niñas nacidas consecutivamente. Sin embargo, hay que tener en cuenta que el cálculo realizado mediante la función DISTR.BINOM se refiere a un cálculo que se basa en una serie conformada por un número de intentos o ensayos aleatorios, teniendo en cuenta además cuántos éxitos o fracasos pueden ocurrir dentro de esa serie de resultados, es decir, el cálculo necesariamente se refiere a las probabilidades del «comportamiento global» del juego a lo largo de una serie de resultados. En este sentido, el hecho de que según el cálculo de la Distribución Binomial sea muy remoto que una pareja complete 5 niñas nacidas en 5 intentos consecutivos, no significa que en el quinto intento se incrementan más las probabilidades de tener un varoncito, ya que realmente en cada intento sólo se pueden generar dos sexos posibles (femenino o masculino), y por lo tanto la probabilidad de tener un varoncito en cada intento es de: P = 1/2 = 0,5; es decir, la probabilidad de tener una niña o un niño son iguales, son del 50%, sin que en nada influya el hecho de ya haber tenido 4 niñas.

La pareja de esposos de este ejemplo, independientemente de que ya hayan tenido 4 hijas, al decidir procrear un nuevo hijo deberían suponer que hasta ahora van a realizar un solo ensayo que es independiente de todo lo que haya ocurrido en el pasado, ensayo ante el cual se espera obtener un solo resultado que desde una lógica binomial es catalogado como «éxito» (que el hijo sea varón), y en tal caso la probabilidad de que ocurra ese éxito es sólo de 1/2, es decir, la probabilidad de lograr un hijo varón sigue siendo sólo del 0,5 o del 50%, independientemente de que en ocasiones anteriores la pareja haya tenido 4 hijas.

Dentro de otras situaciones muy absurdas generadas por la creencia en la Falacia de Monte Carlo, también se puede mencionar el caso del señor que va caminando a campo abierto en medio de una fuerte tormenta, y de repente observa que un rayo cae muy cerca del tronco de un árbol, y en consecuencia él decide guarecerse de la tormenta en ese mismo punto donde recién cayó el rayo. Esa decisión está fundamentada en la falsa creencia de que es altamente improbable que un rayo caiga dos veces en el mismo lugar donde recientemente cayó, cuando realmente a la luz de las matemáticas y de la ciencia se sabe que los lugares pasados en que han caído los rayos en nada condicionan los lugares donde caerán los rayos futuros. Simplemente no hay una relación de causalidad o de dependencia entre los lugares hacia los cuales aleatoriamente pueden caer los rayos, nada impide que un rayo vuelva a caer en un sitio donde recientemente cayó, tampoco existe una ley que dictamine que los rayos sólo deben caer siempre en lugares distintos sin repetir para emparejar la situación, y por lo tanto no hay ningún fundamento para creer que se está más seguro cerca de un árbol donde recién cayó un rayo que en otro sitio.

La Falacia de Monte Carlo en la selección de un refugio.
Un caso similar es el de los soldados que durante la Segunda Guerra Mundial siempre se escondían en los cráteres recién abiertos en la tierra por la detonación de los morteros lanzados por el enemigo, porque erróneamente ellos creían que era muy remota la probabilidad de que algún mortero cayera dos veces seguidas en un mismo cráter recién abierto, y en cambio era más alta la probabilidad de que un mortero cayera por segunda vez en los cráteres que ya llevaban mucho tiempo abiertos. Aquí cabe preguntar: ¿Por qué razón matemática ha de ser más seguro el cráter recién abierto por un misil, que el cráter que lleva más tiempo abierto? Si se considera que cada lanzamiento de un misil es un hecho independiente de los lanzamientos previos, y si el objetivo de un bombardeo siempre es eliminar a los soldados que ocupan una franja de terreno, entonces lo lógico es que cualquier metro de terreno ocupado por los soldados tenga las mismas probabilidades de ser impactado por los proyectiles del enemigo, sin importar si los cráteres recientes o antiguos son repasados de nuevo una y otra vez por el bombardeo.

Del mismo modo, generalmente se menciona la situación del señor que siempre que viajaba en avión llevaba consigo una bomba desactivada oculta en su equipaje, porque este pasajero le tenía mucho pavor a que ocurriera un posible atentado terrorista en el avión en que viajaba, y por lo tanto él pensaba que si era poco probable que un terrorista pudiera subir a un avión con una bomba, entonces era totalmente nula la probabilidad de que en un mismo avión coincidieran dos personas transportando bombas. En otras palabras, el señor consideraba que llevar su propia bomba en el equipaje (aunque desactivada), era como tener una especie de repelente o antídoto para reducir la probabilidad de que cualquier otra persona con una bomba subiera al mismo avión para hacer un atentado terrorista. En este ejemplo es evidente que un hecho independiente (llevar una bomba en el equipaje), en nada contrarresta o evita la probabilidad de ocurrencia de otro hecho fortuito también independiente (que un terrorista suba al mismo avión llevando otra bomba).

En todos los ejemplos antes mencionados la falacia siempre es la misma, es creer que la probabilidad individual de ocurrencia de un evento que es independiente se puede alterar por la ocurrencia de otros eventos pasados que también son independientes, o es creer que la probabilidad de ocurrencia de un resultado individual se puede alterar por el comportamiento global que han tenido una serie de resultados que son independientes entre sí.

Realmente la Falacia de Monte Carlo puede llevar a las personas a creer en ideas sumamente estúpidas, que no resisten el más mínimo análisis matemático y lógico, y esto es lo que le ha ocurrido a millones de jugadores que en los casinos han perdido importantes fortunas al confiar ilusamente en diferentes sistemas de apuestas que se sustentan en esa gran falacia.

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