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La sucesión de Fibonacci (ruleta)






En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377


La sucesión comienza con los números 1 y 1,1 y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.
A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa, las inflorescencias del brécol romanescu y en el arreglo de un cono.





¿Quién fue Fibonacci?



Fibonacci fue un matemático italiano del siglo XIII, el primero en describir esta sucesión matemática. También se lo conocía como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo y ya hablaba de la sucesión en el año 1202, cuando publicó su Liber abaci. Fibonacci era hijo de un comerciante y se crió viajando, en un medio en donde las matemáticas eran de gran importancia, despertando su interés en el cálculo de inmediato.

Se dice que sus conocimientos en aritmética y matemáticas crecieron enormemente con los métodos hindúes y árabes que aprendió durante su estancia en el norte de África y luego de años de investigación, Fibonacci dió con interesantes avances. Algunos de sus aportes refieren a la geometría, la aritmética comercial y los números irracionales, además de haber sido vital para desarrollar el concepto del cero.


El espiral de Fibonacci



Ahora, ¿qué es lo asombroso de esta secuencia o sucesión matemática tan simple y clara? Que está presente prácticamente en todas las cosas del universo, tiene toda clase de aplicaciones en matemáticas, computación y juegos, y que aparece en los más diversos elementos biológicos.



Un espiral de Fibonacci es una serie de cuartos de círculo conectados que se pueden dibujar dentro de una serie de cuadros regulados por números de Fibonacci para todas las dimensiones. Entre sí, los cuadrados encajan a la perfección como consecuencia de la naturaleza misma de la sucesión, en donde cualquier cifra es igual a la suma de las dos anteriores. El espiral o rectángulo resultante es conocido como el espiral dorado y el rectángulo de oro.












Cada uno de los números de Fibonacci se acerca mucho a la llamada proporción áurea, proporción dorada o número de oro (aproximádamente 1.618034). Cuanto mayor es el par de números de Fibonacci, más cerca de la proporción dorada estamos. Naturalmente, ésta cifra resulta más bella y más agradable a nuestra percepción y ya sea consciente o inconscientemente, artistas la han empleado a lo largo de toda la historia de la humanidad.



Desde arquitectos y escultores de la Antigua Grecia a pintores como Miguel Ángel y Da Vinci, a compositores como Mozart y Beethoven o, más próximo a nuestros días, las composiciones de artistas como Béla Bartók y Olivier Messiaen. La gloriosa banda de rock: Tool, también ha trabajado de forma conceptual con esta secuencia matemática de acuerdo a la sucesión de notas y estructuras musicales.



¿Ya no es tan fácil? Inténtalo con este vídeo:










Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta f_{10}


La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:


0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

El 2 se calcula sumando (1+1)
Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
Y el 5 es (2+3),
¡y sigue!
Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55

¡Así de simple!

Aquí tienes una lista más larga:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...



La regla

La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla"

la regla es xn = xn-1 + xn-2

donde:

xn es el término en posición "n"
xn-1 es el término anterior (n-1)
xn-2 es el anterior a ese (n-2)
Por ejemplo el sexto término se calcularía así:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8




Razón de oro




Y hay una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea "φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...

De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación. Probemos con algunos:


A
B

B / A
2
3
1.5
3
5
1.666666666...
5
8
1.6
8
13
1.625
...
...
...
144
233
1.618055556...
233
377
1.618025751...
...
...
...



Usar la razón de oro para calcular números de Fibonacci


Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci usando la razón de oro:



Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de los dos términos anteriores.

Ejemplo:



Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la razón aúrea) obtuve la respuesta 8.00000033. Un cáculo más exacto habría dado un valor más cercano a 8.






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