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Teoría de la demostración

¿Que es la teoría de la demostración?

La teoría de la demostración es una rama de la lógica matemática que trata a las demostraciones como objetos matemáticos, facilitando su análisis mediante técnicas matemáticas. Se presenta como unas estructuras de datos que se construyen de acuerdo con los axiomas (Proposición clara y evidente que no necesita demostración) y reglas de inferencia de los sistemas lógicos. La teoría de la demostración junto con la teoría de modelos, la teoría de conjuntos axiomática y la teoría de la recursión forma cuatro pilares de los fundamentos de las matematicas



Gödel



David Hilbert


Teoría de la demostración

Es necesario que el conjunto de axiomas y reglas sea consistente (no contradictorio):
– no pueda demostrarse una fórmula y su negación.

un sistema de demostración formal S o sistema de pruebas se define matemáticamente mediante los
siguientes cuatro elementos:

– A es el alfabeto del sistema: el
conjunto de símbolos que se pueden
utilizar,
– F es el conjunto de reglas de
sintaxis: las reglas que permiten definir las fórmulas bien construidas,
– X es el conjunto de axiomas:
fórmulas válidas por definición,
– R es el conjunto de reglas de in
ferencias: reglas de transformación que permiten inferir una fórmula, la conclusión, a partir de un
conjunto de fórmulas, las condiciones o premisas.

S = (A,F,X,R)


el sistema de demostración se divide en dos clases: sistemas directos e indirectos

Sistemas directos

Son los más cercanos a la forma de razonamiento habitual.
-En el método de demostración directa se tiene como hipótesis verdaderas las
proposiciones H1 y H2 y… y Hn procediendo a la deducción de que la conclusión
Q es verdadera a través de un proceso lógico deductivo.

Si H1 y H2 y … y Hn entonces Q

en forma simbólica:

H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn → Q



El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la regla de
inferencia clásica o esquema argumentativo válido llamado: Modus Ponens

[ P∧ (P→Q) ] →Q


que significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la conclusión
Q entonces la conclusión Q es verdadera.


Sistemas indirectos

método de demostración por reducción a lo absurdo


Se atribuye al filósofo griego Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C., la
invención del método de reducción al absurdo que utilizaba en sus argumentos y
en sus famosas paradojas, desde entonces es un método ampliamente aplicado
en matemáticas.

El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción al absurdo
una proposición de la forma (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn )↔ Q consiste en:

1) Negar la conclusión Q utilizando las leyes de la lógica, la negación de
Q es denota por ¬Q que se lee “no Q”

2) El conjunto de hipótesis ahora es de la forma H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ∧¬Q,
es decir que ¬Q se añade como una hipótesis

3) Del conjunto de hipótesis enunciadas en 2) obtener una
contradicción evidente, una contradicción es una proposición que
siempre es falsa y es denotada por C, en forma simbólica:
H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ∧ ¬Q → C, es decir que el conjunto de hipótesis
{H1, H2, … ,Hn,¬Q} es inconsistente o contradictorio.

4) entonces Q es verdadera por la obtención de una contradicción al
suponer verdadera la negación de Q

método de demostración por contrapositiva

(P→Q)↔(¬Q→¬P)


Para realizar una demostración por contrapositiva se toma como hipótesis la
negación de la conclusión escrita como ¬Q para obtener como conclusión la
negación de la hipótesis escrita como ¬P. El esquema argumentativo de la
deducción por contrapositiva es de la forma:


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