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1 + 2 + 3 + 4 ... = -1/12 . Explicación lógica y simple

1 + 2 + 3 + 4 ... = -1/12 . Explicación lógica y simple

Recientemente, el canal de youtube Numberphile subió una demostración de que la suma de todos los números naturales (1+2+3+4 y así hasta el infinito) no da infinito, sino que es -1/12.


link: http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

Dado que ese canal de youtube tiene un carácter serio y los que presentan los videos suelen ser matemáticos o físicos, mucha gente quedó bastante confundida. Algunos aceptaron el resultado, mientras que otros aseguraban que la suma infinita 1-1+1-1+1-1+1-1+1.... no da 1/2, y, por lo tanto, el resto del cálculo es falsado.

Yo tengo cierto gusto y facilidad con la matemática, y aunque no tengo ningún título ni tampoco seguí ninguna carrera, intente analizar el cálculo por mí mismo, para ver cómo carajo era posible que una sumatoria que obviamente es divergente, fuera capaz de dar un resultado finito.

Y después de estar meditándolo en la ducha, encontré la respuesta. No me merezco un premio nobel ni nada por el estilo , es una explicación muy simple, tan simple que un aficionado como yo fui capaz de formularla, y es tan simple que ahora la voy a compartir con ustedes.

Para entender qué fue lo que "salió mal", tendremos que remitirnos al concepto de "infinito".

Supongamos que tenemos la siguiente ecuación:

x + 1 = x

Antes de despejar la X, presten atención a la ecuación en sí. ¿Es posible resolverla? Si convertimos esa ecuación en palabras, nos quedaría algo parecido a que:

"A un número, si se le suma 1, sigue siendo el mismo número".

Esto es absurdo, no hay ningún número al que, si se le suma 1, siga siendo el mismo número. 0+1=1 ; 1+1=2 ; -1+1=0, etc. etc. etc.

Sabiendo esto, quiero que vean lo que pasa cuando se despeja la x.

x-x = -1
0x = -1
x = -1/0

X es igual a -1/0

Por lo tanto, se puede decir que x no existe. Sin embargo, existe un concepto que puede ubicarse como solución de esta ecuación: el infinito. Volvamos al primer paso de la ecuación:

x + 1 = x

Ahora, supongamos que la x es infinito:

+ 1 =

Para los que sean entendidos en matemática, van a ver que este cálculo tiene sentido. Para los que no, sólo tienen que ver este video y van a entender de lo que hablo.


link: http://www.youtube.com/watch?v=iAF37vVeV-Y

Sin embargo, no es la única solución de la ecuación. También lo puede ser -. Esto se debe a que el cálculo 1/0 no tiene una sóla solución, como lo demuestra este gráfico:

Infinito

Como pueden ver, cuanto más cercano al 0 es el divisor, más se acerca a ambos infinitos. Esto es perfectamente consistente con la ecuación, ya que:

-+1 = -

Bien, ahora que vimos que el infinito puede aparecer en ecuaciones, logrando que estas devuelvan resultados coherentes, fíjense lo que pasa en esta ecuación:

S - 1/4 = 4S

Esta ecuación aparece en el video de numberphile: es justo el paso anterior a concluir que S = -1/12 y, por lo tanto, 1+2+3+4+... = -1/12. La ecuación, de por sí sola, está bien, ya que los de numberphile llegaron a ella mediante una serie de pasos que, por sí solos, están bien.

Ahora, para entender qué es lo que "salió mal", debemos reparar en que S = 1+2+3+4+...

Lo que se me ocurrió hacer, es reemplazar S por ∞, es decir, asumir que la suma es divergente.
De esta manera la ecuación nos quedaría:

- 1/4 = 4

Como el infinito tiene propiedades distintas a los números, como se demuestra mediante la paradoja del hotel infinito, resulta que:

- 1/4 =
4 =

Por lo que, volviendo a la ecuación anterior

- 1/4 = 4
=

Sí señores, ∞ es igual a ∞. No hay ninguna contradicción, no hay ninguna paradoja. Si asumimos que la sumatoria S es infinita, entonces llegamos a que ∞ = ∞, y por lo tanto S=S. ¿Qué es lo que está pasando? ¿Por qué los de Numberphile llegaron a que esa ecuación da como resultado -1/12, si acabo de demostrar que la ecuación da infinito?

La explicación de esto es que, dependiendo de como manipulemos al infinito (y con infinito me refiero a ambos infinitos, el positivo o el negativo), podemos armar una ecuación cuya solución pueda ser, o bien alguno de los infinitos, o bien, un número común y corriente.

Para que vean que esto pasa con cualquier suma infinita, les voy a mostrar un video subido por el Dr James Grime, en el cual muestra cómo se puede hacer que 1+2+4+8+16+32... sea igual a -1.


link: http://www.youtube.com/watch?v=7fGoins7q3s

¿Cómo carajo se explica esto? Bueno, también tiene que ver con la ecuación que se hace antes de llegar al resultado:

2S - S = -1

Si a esa S la reemplazásemos por infinito, nos quedaría:

- = -1
= -1

Lo cual es cierto, de acuerdo a las propiedades extrañas que tiene el infinito.

Como se puede notar, todas las ecuaciones que tengan las mismas incógnitas separadas, pueden dar infinito, como vimos antes en x+1=x. Sin embargo, las ecuaciones que tienen las mismas incógnitas separadas, pero con factores distintos, dan infinito, y también dan algún número, por ejemplo:
2x+1 = x
1 = x-2x
1/-1 = x
-1 = x

2x+1 = x
2+1 =
+1 =
=

En conclusión, los de numberphile se aprovecharon de esta pluralidad de resultados que podían adoptar las ecuaciones, para hacer que sumas cuyo valor es infinito, devolvieran un valor finito.

Ahora, ¿Por qué en la teoría de cuerdas se utiliza el número -1/12 como resultado de esa suma, si un taringuero promedio demostró que el resultado de esa suma es infinito?

No soy físico así que no tengo idea, pero sí se me ocurre una explicación: como -1/12 e infinito pueden ser utilizados como solución de la ecuación 4S = S - 1/4, y el concepto de infinito no puede ser utilizado como número, tal vez alguien se dió cuenta de que poner -1/12 en lugar de infinito simplificaría mucho alguna fórmula en particular, en la que diera igual poner cualquiera de los 2 resultados.
Que quede claro que es solo una especulación mía, no una realidad. Sin embargo, más allá de ese detalle, creo que las demostraciónes que aparecen en el post son suficientes para demostrar que -1/12 y 1+2+3+4+... no son la misma cosa, y solo coinciden en que pueden ser utilizados como solución de la ecuación 4S = S - 1/4.

trolleo

Comentarios Destacados

arielmerlo93 +141
suma infinita
lukas163 +18
Y así, desaprobé.
piipi77 +8
por esto me ganes muchas broncas en el cole, los hdp me jalaban porque no usaba los metodos que ellos enseñaban para resolver los problemas...
frog06 +5
JAJAJAJAJAJAJAJA Me hace acordar a la vieja de 5to año del colegio secundario y matematica y quimica del CBC

63 comentarios - 1 + 2 + 3 + 4 ... = -1/12 . Explicación lógica y simple

yaaani +6
Estaba viendo el otro día este video. Genial! Muy buen aporte
EdgarMonroe +19
yo creo que esas demostraciones violan todas la leyes para despejar x
EdgarMonroe +1
@arielmerlo93 lo hice! dio error. ahora no se que hacer martin.
ranixon +4
@arielmerlo93 La calcualdora calcula, no resuelve.
abcdefghi123544
@AaaAnonimoCapo 1/0 es invalido
tilu -2
Muy buen post, interesante!
saint1386 -12
X-X
0X
JAJAJAJA POR DIOS..
elchiiqui +3
@KKK_666 cero por cualquier cosa es cero. Y si fuera la X un infinito seria indeterminado y no tendria sentido es incuerente este razonamiento x(0) = 0x
grangaver +1
@elchiiqui y que seria incuerente?
elchiiqui +1
@grangaver X.(0) = 0 para todo X perteneciente a los reales. Eso tendria algo mas de sentido
mauri9999 +40
X=1/0 NO TIENE SOLUCION, NO EXISTE 1/0.. no se debe confundir con limites. Son cosas totalmente diferentes. El limite de 1/y, cuando "y" tiende a cero, es infinito, PERO EL LIMITE. La division es absurda de cualquier otra manera.
KBlueriver -1
@mauri9999 Dije REAL. 0 es un número real, y 0*0 = 0 por definición de producto sobre el campo real. La potencia y el cociente no son productos, y los infinitos no pertenecen al campo real. No son dos caras de la misma moneda, porque no son monedas. Si vas a hablar de matemática, hablá con términos matemáticos. Son funciones inversas tal y como se definen para elementos del campo real.
Veo que te la querés dar de pijudo, mandando fruta con división y números no reales. Por qué no habla
mauri9999 +1
@KBlueriver de pijudo? no amigo, gracias. 0*0=0 no es "por definicion". Es un absurdo. Nunca dije que el infinito entra en el campo real, solo di ejemplos que a un chico de 5 años (me parece, como vos) puede dar el resultado sin saber como llego al mismo, matematicamente hablado. Lo de las monedas, solo di un ejemplo. Aclare de antemano que son funciones inversas. No se que saltas, si hay algo mal escrito, o un error, lo voy a aclarar. No tengo 15 años, ni tengo conocimientos solo basicos de m
gabrielmanolo66
Déjense de pelear ñoños
dr_vanvan +4
Por fin un poco de inteligencia colectiva.
Thorneos +3
Me "hirve" la cabeza (P. Caballasca)
Buen punto
Van puntines
alberto32 +2
mal
x-x= 0
y listo.
ademas como partis de una premisa falsa?
AaaAnonimoCapo
El infinito no sigue las propiedades aritméticas convencionales. ∞ - ∞ es una indeterminación, puede ser tanto cero como cualquier otro número.
alberto32 +3
x + 1 = x
x-x = 1
0x = 1
x = 1/0

no satisface la ecuacion inicial
arielmerlo93 -1
seria 0=1/0
y si seguis operando seria
0 = ∞
los cual nos lleva a un absurdo
AaaAnonimoCapo +1
mal, me equivoqué, sería x-x = -1 , ya mismo lo corrijo
awesomeandcani -3
que pelotudez el titulo esta mal. es 1-2+3-4+5 ...
AaaAnonimoCapo +1
el título está bien, mirá el primer video
Trachta10 +30

link: http://www.youtube.com/watch?v=l-QvquKQHk0
Alejandro_ +8
JAJAJA TOP COMENT
el_alfajor +3
JAJAJAJAJAJAJAJAJAJAJAJAJAJAJAJA
Kenshin_vcm +3
Pero para hacer todas esas suposiciones no deberias estar calculando limites? y aca usas matematicas simples, mientras que los limites tienen ciertas propiedades no aplicables en sumas y restas ordinarias.
corriganme si me equivoco!
mauri9999 +3
es lo que trato de aclarar mas arriba, amigo
sfiotto +2
Muy interesante, volvió la inteligencia colectiva?
guachopario +1
es correcto decir que una sucesión que es divergente tiene el valor medio?
ErickMartinoni -2
muy buen post
Miguele252
+10
sentadode ruedas
ChurongaLaPopame
huyy papa.....realmente no entendí un carajo...las matemáticas a mi no se me dan.....de todas formas, excelente post.
mayoral1
Aunque me violen a negativos tengo que decir algo: !QUE MANERA DE COMPLICARSE LA VIDA!
AaaAnonimoCapo +1
Todas estas cosas tienen alguna aplicación en la vida real, en el caso de esta sumatoria, se usa en la teoría de cuerdas.
giuli666 +1
En la sumatoria 1-1+1-1+1-1+1-1+1-....=1/2 esta totalmente mal, la suma es divergente, ya que el termino independiente no tiende a 0 es decir
Lim a Inf de (-1)^(n-1) no existe, por lo que la sumatoria diverge

http://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_divergencia
giuli666 +3
@elchiiqui Ok, digamos oscila entre 0 y 1 segun sea un n par o impar, o sea diverge, lo que hace es hacer la semi-suma de los dos extremos en los que oscila, bate cualquiera el muchacho y le da 1/2, como es una serie alternante, yo podria reordenar los numeros para que "converga" a cualquier L que se me ocurra.
elchiiqui +1
@giuli666 Claro ensima me causo gracias la emocion que tenia el vago. Igual me gustaria verlo con una traduccion mejor para entender bien lo que hace
elmasterfabri10
No. Estás metiendo fruta. Vos estás dando por entendido que "sumar" significa una cosa y punto. El concepto de "suma" en una serie divergente infinita no tiene nada que ver con el concepto que uno tiene de sumar números naturales. La demostración de que 1+2+3+4+...=-1/12 es perfecta en sí, pero requiere un concepto de suma distinto al utilizado en el álgebra. Es obvio que la serie es divergente y ninguna suma finita da -1/12, pero la "suma" de la serie infinita, el cual es un concepto diferente, arroja ese resultado.
giuli666
WTF? Cual es el concepto de suma en numeros naturales???? Entendes que es una serie y que lo que plantea es una serie alternante?? Explicame un poco a ver que onda.
giuli666 +1
Te dejo el criterio de Leibniz para series alternantes. No entiendo cual es tu concepto de "suma" salvo que las comillas sean algun operador matematico nuevo.
http://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_Leibniz
Nic_A_Secas
Suma de Ramanujan: http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7

Es la función zeta de Riemann evaluada en -1: http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
christopherJ +2
iba bien como hasta la mitad del post luego me perdí
cuervoua
Ya que 1-1+1-1+1-1+1-1+1-....sea =1/2 es bastante raro, pero peor es que 2S2 sea igual S1, moviendo la suma de las series para que le de lo que quiere.
Blezzrakget +1
Totalmente de acuerdo











NO entendí nada
elchiiqui
Es que es un corrimiento que se dice q no afecta a la sumatoria por que es un numero bastante parecido. Es como tener 1000 toneladas de arena en un lado y la misma cantidad en otro - un grano de arena. la sumatoria es igual. Tenderian al mismo numero.
cuervoua +1
@elchiiqui
Si afecta a la sumatoria S2 por que esta resulta en +∞ o -∞, al hacer ese corrimiento estas neutralizando los resultados en vez de agregarle un grano de arena, El resultado de 2S2 es +∞ o -∞ y no 0 o 1.
Foxies +4
Leí todo el post, y tu razonamiento es inválido, primero dividir por 0 es IMPOSIBLE, no se puede, lo que si es posible es dividir un número por x que tiende 0,un valor que se ACERCA a 0, que no se considera 0, concepto que no utilizaste en dicho razonamiento. Me falta ver el video, pero según lo que se, la serie o sumatoria desde n=0 hasta infinito, de n diverge, no me parece posible que sea -1/12, pero no descarto nada, porque como la historia lo demostró , la matemática tiene conceptos antiintuitivos, como el resultado finito que da una integral impropia de primer especie, al surgir esto, los matemáticos no podían comprender como el área definido por una función desde un determinado valor hasta el infinito puede dar un valor finito, pero luego se demostró que si ocurre.
el_lescano +2
o que pueda existir una biyección entre un conjunto infinito y un subconjunto propio, ese teorema tambien es bastante poco intuitivo.
matoso80 +5
No puedes usar el infinito en las ecuaciones, por que infinito no es un número, es un concepto
0Lezz0 +1
sin el concepto de Limite, esto no se puede aplicar.
Drio_O +6
Me dieron ganas de estudiar matematica
Ultimo-Intento +1
tienes razón, con lo que partes...si a un número muyy grande (infinito) le sumo un 1 , sigue siendo un número muy grande (infinito),
faca18 +2
Por eso estudio Historia
gusti67 +7
odio la historia es siempre lo mismo, siempre pasa lo mismo, y siempre va a seguir pasando
faca18 +2
jajaja cada cual lo ve con otros ojos no? fue chiste el comentario igual, no lo tomes tan personal.
elchiiqui +2
El error esta en considerar numero reales con ecuaciones que tienden a un numero. Y ademas se manda cualquiera cuando hace esa sumatoria que le da 1/2 ahi surge todo el error
elchiiqui +3
Te doy 10 por el simple hecho de ser un caso particular de persona que se pone a romper el mate con matematicas un dia de febrero. Simplemente estas loco amigo jajaja
GFlora +1
Sos Cristian?? profe de exactas de la uba??? porq hablas igual! jajajaa
AaaAnonimoCapo +1
No soy profe, ni siquiera terminé la secundaria :O
abcdefghi123544 +1
Franzequi +1
Para mi desde el 1/0 ya no se puede avanzar. Y para trabajar con el infinito tenes que usar limites, y en ese caso creo que no es valido que infinito=4.infinito, en limites 4.infinito/infinito daria 4. No se mucho de matematicas pero me parece un poco ridiculo perder el tiempo con tanto calculo, si la conclusion no tiene ningun sentido
AaaAnonimoCapo
∞+4 no es lo mismo que ∞? Fijate el video del hotel infinito: puede tener ∞ personas, pero cuando se agrega 1 persona más, sigue teniendo ∞ personas. El infinito tiene propiedades distintas a los números.
La conclusión de 1+2+3+4+... = ∞ no tiene sentido? O te referís a la que sacaron los del video del principio?
Franzequi
@AaaAnonimoCapo Me refiero a lo del principio, osea que la suma de todos los numeros naturales es -1/12, me parece ridiculo, no se que sentido tiene llegar a ese resultado. Y en lo del ∞+4, en realidad me referia a 4.∞, osea 4 x ∞, porque tenia entendido que en limites (4 x ∞)/∞ daba 4, pero de matematica solo se lo de la secundaria, asi que tampoco puedo discutirle a nadie
Alejandrofacha +1
@AaaAnonimoCapo estoy de acuerdo, si una suma no esta definida en los reales, matemáticamente no tiene sentido seguir, porque claramente el resultado puede ser arbitrario.
pagua10 +3
no tiene sentido usar infinito en una ecuacion ya que es una tendencia no un numero
AaaAnonimoCapo
Los de numberphile fueron los que introdujeron la S en la ecuación, y como metieron una suma divergente, entonces usaron el infinito en la ecuación. Yo hice exactamente lo contrario, reemplazar la S por ∞, para mostrar porqué era que la ecuación parecía dar un resultado finito.
Rob_Halford +2
1= Hinchas de velez totales = pedir deseo ya.
corintito +3
El infinito no es y nunca será un número.
mercury82 +1
Simplemente por como empiezas tus ecuaciones estas mal
x + 1 = x
Desde ahi estas mal, si dijeras que x = 2, entonces quedaria 2+1=2.
Lo cual es totalmente incorrecto.
Antes de hacer estas cosas aprende matemáticas.
AaaAnonimoCapo
El infinito no sigue las propiedades de los números. ∞+1 = ∞. Esto se explica en el video de la paradoja del hotel infinito.
mercury82
@AaaAnonimoCapo Pero forzan demasiado todo para sacar x = -1/0. Usan las "propiedades" de infinito para obtener sus resultados.

En todo caso x=-1/0 unicamente puede ser valido dentro del infinito.
elhackersss -1
Se cansa de alagarse el que escribió este post y no sabe ni despejar...
AaaAnonimoCapo -1
Alagarse? Si en el post insisto en que soy aficionado, no sé de donde sacás que me halago. Y si no sé despejar, como vos decís, porqué no me mostrás los errores que cometí y listo?
facuel10 +1
Te juro que lei ecuaciones y ya me empezo a agarrar picazon por los brazos y la espalda alergia a matematica que jodido che
Joaquit0 +1
Eso es ser un aficionado ? yo soy un mono retrasado.