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¿Qué son los números perfectos? Te lo explico



Hace un par de días estaba copado viendo la serie Genios de Stephen Hawking y me topé con un número que
me llamó la atención de sobremanera: el 496. Un número perfecto. Y me puse un poco a rever este temita sobre la Teoría de los números.

Con origen en el latín perfectus, la palabra perfecto describe a la cosa, organismo o individuo que reúne el más alto nivel posible de excelencia en relación a los demás elementos de su misma especie o naturaleza.

Ahora bien, la noción de perfección tiene un determinado grado de subjetividad pues, en cierto modo, lo completamente perfecto no existe.

Si hablamos de números, un número perfecto es aquél que es igual a la suma de sus divisores, exceptuando él mismo (estos divisores que no incluyen al mismo número son los que se conocen como factores o divisores propios).

Simplemente para recordar o aclarar, los divisores de un número natural son los números naturales que lo pueden dividir, resultando de cociente otro número natural y de resto 0, es decir, la división es exacta. Cada número tiene una cantidad concreta de divisores. Por ejemplo, los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12; sin embargo, para ver si el 12 es un número perfecto, hemos dicho antes que no hay que considerar al propio número, es decir, sólo tenemos en cuenta los divisores propios de 12: 1, 2, 3, 4 y 6.

1 + 2 + 3+ 4 + 6 = 16 ≠ 12


Aí que, lamentándolo mucho, el 12 no es un número perfecto.

Si lo relacionamos con los números amigos, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo. Al final del Post explico un poco lo que son los números amigos.



Pero volviendo a nuestro tema ¿por qué se les llamó perfectos?

Bueno, ya hemos comentado que esto de la perfección es bastante relativo, pero en la antigüedad se les llamó perfectos porque se le atribuyó a la propiedad que tienen una cierta divinidad. Así, San Agustín (Agustín de Hipona) (354-430) afirmaba en su libro La Ciudad de Dios que Dios creó el mundo en séis días y que el 6, por lo tanto, era un número perfecto (6 = 3 + 2 + 1), al igual que el 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14), que son los días que tarda la luna en dar la vuelta alrededor de la tierra.

Los dos primeros números perfectos (iguales a la suma de sus divisores, exceptuando él mismo) son, precisamente, estos dos que hemos visto, el 6 y el 28.

Los dos siguientes son el 496 (el número de la serie Genios) y el 8.128:

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8.128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1.016 + 2.032 + 4.084


Estos cuatro primeros números perfectos ya aparecían en la Aritmética de Nicómaco de Gerasa (siglo I); el quinto número perfecto es el 33.550.336, y aparece en un manuscrito del siglo XV; el sexto, el 8.589.869.056, y el séptimo, el 137.438.691.328, fueron descubiertos por Pietro Cataldi en 1588.

El octavo va siendo ya un número bastante grandecito, hablamos del (donde M31 es 2.147.483.647, el trigésimo primer número de Mersenne) y fue descubierto por Euler en 1750.

Más adelante, utilizando ya calculadoras electrónicas, se pudieron calcular otros tres números perfectos, el último de ellos, el , tiene aproximadamente 770 cifras; podrás entender que no lo escriba con todas sus cifras aquí.

Ya en 1992, utilizando un ordenador Cray-2 (una supercomputadora vectorial construida por Cray Research, Inc. (CRI), en 1985, que fue en su momento la computadora más veloz en el mundo, y que sólo realizaba cálculos matemáticos muy complejos y operaciones lógicas de alto nivel), se calculó el número primo de Mersenne: .



A partir de dicho número se obtuvo el número perfecto más grande conocido hasta entonces:



un número que tiene, nada más y nada menos, 455.663 cifras; Si el otro número no lo escribí completo, este menos aún, de hecho para poder escribirlo necesitaría un libro de texto bastante “gordito”.

En la actualidad, el número perfecto más grande descubierto es:



Que, como se puede apreciar, se ha obtenido a partir de , un número primo de Mersenne descubierto el 25 de enero de 2013 por el GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) y el número primo más grande conocido hasta la fecha. Por cierto, este número perfecto tiene… ¡34.850.340 cifras! (con esto, nuestro libro de texto, si escribimos con una letra de 12 pts y sin espacios, se nos puede ir a unas 26.000 páginas… que yo creo que para poder manejarlo habría que presentarlo en varios tomos).

A estas alturas, me imagino que yate habrás dado cuenta de que, a partir de un número primo de Mersenne del tipo , se puede tener un nuevo número perfecto multiplicándolo por ; Es el conocido como Teorema de Euclides-Euler de los números perfectos. Por eso, cada vez que se descubre un nuevo número primo de Mersenne, se tiene un nuevo número perfecto.

Por último, veamos algunas curiosidades y cuestiones abiertas sobre los números perfectos:

Todos los números perfectos generados con la fórmula de Euclides son pares y, además, terminan en 6 u 8.
Sólo hay 12 números perfectos pares con menos de 300 cifras (esto desanima bastante para buscarlos “a mano”).
No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales al respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 107, dos de ellos deben ser mayores que 10 000 y tres factores deben ser mayores que 100. ¿Alguien se anima con estas pistas? (Es una pregunta más bien irónica… aunque nunca se sabe)
Los números perfectos impares, en definitiva, constituyen un misterio: nadie ha encontrado ninguno pero tampoco se ha encontrado un argumento que demuestre que no existen.
Se cree que existen infinitos primos de Mersenne y, por lo tanto, infinitos números perfectos pares, pero aún no se ha conseguido determinar si existen infinitos números perfectos. Hasta el momento se conocen 48 números perfectos.
Después de todo esto, no se si a alguien le han quedado ganas de buscar el siguiente pero, si es así… ¡mucho ánimo… y paciencia!

Antes de irme cumplo lo prometido, acerca de los números amigos:
¿Números amigos?


¡Ni que fueran personas!

Pues sí, como ocurre con las personas, hay números que tienen una cierta afinidad. Vamos a ver en qué consiste esa relación de amistad.

Dos números amigos son dos números enteros positivos a y b tales que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).

Un ejemplo es el par de números naturales (220, 284), ya que:

los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284;
los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe entonces el nombre de número perfecto (por ejemplo el 6, pues sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3).

Ya en la Grecia antigua, los pitagóricos observaron esta relación que hemos visto entre los números 220 y 284 y los llamaron ya entonces números amigos. Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas.

En el mundo árabe, los números amigos han tenido un rol significativo en la matemática islámica. Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos. Así si:



donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos (números enteros mayores que 1 que tienen únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1), entonces se cumple que:



son un par de números amigos.

Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184, 1210), (17 296, 18 416) y (9 363 584, 9 437 056).


Thabit ibn Qurra


Una nueva prueba del teorema de Thabit ibn Qurra fue suministrada a finales del siglo XIII por al-Farisi (1260), quien introdujo importantes nuevas ideas en los campos de la factorización y de los métodos combinatorios. También señaló el par de números amigos 17 296 – 18 416; Este descubrimiento ha sido atribuido a Leonhard Euler (siglo XVIII), pero se sabe ahora que eran conocidos cinco siglos antes por al-Farisi, y quizás incluso antes por el propio Thabit ibn Qurra.

Vale la pena hacer notar que en el siglo XVII Muhammad Baqir Yazdi encontró el par 9 363 584 – 9 437 056, todavía muchos años antes del aporte de Euler.

En la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían una inscripción 220 para uno y de 284 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de magia.

En occidente, durante muchos siglos, 220 y 284 fueron la única pareja de números amigos conocidos, hasta que en 1636 Euler redescubrió (pues como ya he dicho, en el mundo árabe al Farisi ya lo había descubierto) que 17 296 y 18 416 también lo son. En 1638 Descartes, colega y competidor de Fermat, encontró la tercera pareja: 9 363 584 y 9 437 056.

Como hemos visto, grandes matemáticos han dedicado a lo largo de la historia mucho tiempo a estudiar estos números con una relación de amistad tan peculiar, entre ellos Maslama al-Mayriti (muerto en 1007), Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), Pierre de Fermat (1601-1665), René Descartes (1596-1650), a quien se atribuye a veces la fórmula de Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue generalizada por Euler.

Por último, les pongo una tabla donde se muestran las parejas de números amigos desde 1 hasta 20 000 000.






3 comentarios - ¿Qué son los números perfectos? Te lo explico

LittoIriarte +1
excelente info, gracias por compartir, saludos
westlond +1
Excelente, no lo sabía, gracias !