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Las esferas de Dandelin y las secciones conicas.

Bien, este es mi primer post, es un trabajo que hice para un curso de Geometría Analítica. Una disculpa por la calidad de las imágenes, al final del post dejo un link donde podrán ver el desarrollo de estas por medio de animaciones.
Espero que les sirva.


Secciones Cónicas

La presencia de las secciones cónicas en la naturaleza y su uso con fines prácticos es algo muy habitual en la actualidad, aun que entre quienes no estudian el tema muchas veces no se les da la importancia que merecen. Podemos encontrarlas de muchas maneras, algunos ejemplos son: Las orbitas de los planetas que forman elipses, al lanzar un objeto en cierto ángulo (Tiro parabólico), en construcciones entre otros.

Las esferas de Dandelin y las secciones conicas.

matematicas

esferas


El estudio de estas superficies normalmente comienza definiéndolas como lugares geométricos en un sistema de referencia, pero estas secciones tiene un origen tridimensional. Para comprender mejor esto sera necesario conocer algunos conceptos. Debemos comenzar claro definiendo el origen: Una sección cónica surge al cortar con un plano una superficie cónica.

Geometria Analitica

Esto nos lleva a la pregunta ¿Que es una superficie cónica? Una superficie cónica o un cono de revolución es un cono unido a otro simétricamente por el vértice; Es ilimitada, es decir, no tiene base pero por comodidad se suelen dibujar conos con base. Esta superficie surge al girar en el espacio una recta (Llamada Generatriz) respecto a otra fija denominada Eje de la superficie cónica. El ángulo entre las dos rectas es el semiangulo cónico.

secciones conicas
dandelin
Las esferas de Dandelin y las secciones conicas.
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Para generar una sección cónica un plano debe cortar esta superficie, dependiendo del ángulo del plano, sera diferente la sección cónica generada.

Geometria Analitica

- Si el corte del plano es totalmente perpendicular al eje, el resultado sera una circunferencia.
- Si el ángulo es mayor que el semiángulo alfa (Cónico) el resultado sera una elipse.
- Si es igual al semiángulo alfa, sera una parábola.
- Si es menor que el semiángulo alfa sera una hipérbola.


Teorema de Dandelin

La generación tridimensional de las secciones cónicas lleva consigo usando el teorema de Dandelin la aparición de ciertos elementos como son los focos o la directriz, cuyo origen no se había explicado hasta ahora.

El teorema de Dandelin es : “Dada una superficie cónica y un plano que la secciona formando una sección cónica, siempre se pueden dibujar una o dos esferas tangentes interiores a la superficie cónica y al plano de corte. Los puntos de tangencia de las esferas con el plano de corte son los focos de la sección cónica y y las circunferencias de intersección de las esferas con la superficie cónica hacen que los planos que pasen por dichas circunferencias corten al plano de corte en dos rectas que son las directrices de la sección cónica."

Aquí tenemos el plano s, los focos son los puntos de tangencia G y F, se ven las circunferencias de tangencia y como al extenderlas cortan la s en E y D que son las directrices.

secciones conicas

Este ejemplo es de una elipse, pero existen diferentes características según la sección cónica que sea, así que analizaremos una por una.


La Elipse

Teniendo la superficie cónica ya sabemos como debemos seccionarla para obtener una elipse.

Aquí tenemos el plano de corte y los puntos A y B que es donde intersecta a las generatrices. Estos puntos son los vértices de nuestra elipse. Luego están las dos esferas que son tangentes al plano en F1 y F2, estos son los focos de la elipse. Tenemos también las rectas que van de T1 a T2 y de T3 a T4, que son las circunferencias tangentes a la superficie cónica, al extender los planos de dichas circunferencias llega un punto en el que estos planos intersección al plano de la elipse, las lineas que se generan en esta intersección son las directrices. (d1 y d2)

dandelin

Ahora consideramos la generatriz del cono que pasa por P, esta corta a la circunferencias superior e inferior en A y B. Puesto que las dos circunferencias son paralelas y concéntricas la distancia de A a B sera la misma sea cual sea el punto.

Las esferas de Dandelin y las secciones conicas.

PA + PB = Cte.



Puesto que PA y PF1 son segmentos de tangente a la esfera superior trazados desde un mismo punto.

PA = PF1


Lo mismo funciona para PB y PF2 con la esfera inferior por lo que

PB = PF2



Con esto por un lado tenemos que:

Independientemente de P

PA + PB = Cte.

PA = PF1 y PB = PF2


Por lo tanto
PF1 + PF2 = Cte.


Con esto demostramos que: “La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante”.

La Parábola

Anteriormente vimos como obtener una parábola seccionando con un plano una superficie cónica. Teniendo nuestra parábola, en este caso solo existirá una esfera tangente al plano y a la superficie.
En este caso vemos que solo tenemos una intersección del plano de corte con la generatriz por lo que solo tenemos un vértice, al tener solo una esfera, solo existe un punto F que es el foco, el plano de la circunferencia tangente a la superficie cónica que pasa por T1 y T2 se puede extender hasta cortar con el plano de corte lo cual produce una recta que es la directriz, representada por d.

matematicas

Con esta segunda imagen tenemos la parábola, la directriz, el foco y tomamos un punto P cualquiera de la parábola.

esferas

Ahora consideramos la generatriz del cono que pasa por P y también pasa por A.
Puesto que P y A están en la generatriz, PA es tangente a la esfera y como F y P están en el plano y F es tangente a la esfera PF también es tangente. Así que PA y PF son segmentos de tangente trazados desde un mismo punto por lo que

PA = PF


Ahora el punto B es la proyección de P sobre el plano que contiene la circunferencia tangente a la superficie cónica.
Como puede verse este segmento es paralelo al eje del cono y como PA es secante a ambas rectas, podemos deducir que el ángulo que forman el eje del cono y la generatriz es igual al ángulo APB.
Ahora vemos que el punto C es la proyección del punto P en la directriz. Como PB era paralela al eje y el plano de corte forma un ángulo con el eje exactamente igual al que forma la generatriz con este, resulta que el ángulo CPB también es igual al ángulo entre el eje y la generatriz.
Considerando que los triángulos APB y BPC tienen el lado en común: BP. Edemas tenemos que tienen dos ángulos iguales APB y BPC como vimos y PBA = PBC = 90º. Por lo tanto los triángulos son iguales y PA = PC.

Entonces hemos obtenido que:

PA = PF

PA = PC por lo tanto

PC = PF


Con lo cual demostramos que: “La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz”.

La hipérbola

Teniendo nuestra superficie cónica sabemos como obtener una hipérbola.

Aquí tenemos Las intersecciones del plano con las generatrices que nos dan los puntos A y B, los vértices. Cambien tenemos dos esferas tangentes al plano en los puntos F1 y F2 que son los focos, y a la superficie cónica formando las circunferencias tangentes(que pasan por T1y T2  una y por T3 y T4 la otra), cuyos planos al extenderlos cortan el plano de corte y nos dan las directrices d1 y d2.

Geometria Analitica secciones conicas

Ahora en esta imagen podemos tomar la generatriz de la superficie cónica que pasa por un punto P. Esta corta a la esfera superior en un punto A y a la esfera inferior en un punto B.

dandelin

Es evidente que sea cual sea el punto P, tenemos siempre la relación

|PB – PA| =AB = Cte.


Los puntos A y F1 son puntos de la esfera superior, el segmento PA esta en la generatriz así que es tangente a dicha esfera y el segmento PF1 también lo es pues esta en el plano de corte y la esfera es tangente al plano.

Así pues PA y PF1 son segmentos de tangente a la esfera trazados desde un mismo punto por lo que

PA = PF1


Lo mismo tenemos para los puntos B y F2,, el segmento PB es parte de la generatriz por lo tanto es tangente a la esfera inferior y el segmento PF2 se encuentra en el plano de corte por lo que también es tangente a la esfera, siendo dos segmentos de tangente a la esfera trazados desde el mismo punto tenemos que

PB = PF2


Por un lado teníamos que

|PB – PA| =AB = Cte.


Y por el otro obtuvimos que

PA = PF1 y PB = PF2


por lo tanto resulta que

|PF1 – PF2| = Cte.


Con esto demostramos que: “La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante”.

La Circunferencia

En el caso de la circunferencia tenemos un caso similar al de la elipse (Hasta donde entiendo se considera un caso especial de elipse).

Las esferas de Dandelin y las secciones conicas.

El plano de corte es perpendicular al eje, si tomamos las esferas tangentes al plano y a la superficie cónica, tenemos que ambas esferas son tangentes al plano en el mismo punto (Una superior y una inferior), este punto sera C, el cual es el centro, y las circunferencias que son tangentes a la superficie cónica son paralelas al plano de la circunferencia por lo que nunca se intersectan.
Tomando la generatriz del cono que pasa por un punto P cualquiera y por los puntos A y B de las circunferencias tangentes al cono. Como ambas son paralelas y concéntricas, la distancia AB serán las mismas para cualquier punto P. Por lo tanto

PA + PB = Cte


Los puntos C y A son tangentes a la esfera superior y además PC es tangente por estar en el plano de corte y PA es un segmento de la generatriz por lo que es tangente a la circunferencia, como tenemos dos segmentos de tangente trazados desde el mismo punto sabemos que son iguales, así que

PC = PA


Los puntos C y B de igual manera son tangentes a la esfera inferior y PB es un segmento de tangente que coincide con la generatriz y PC es otro segmento de tangente de la esfera por lo que

PC = PB


Por un lado teníamos que

PA + PB = Cte.


Ademas concluimos que

PA = PC y PB = PC

Así que sustituyendo tenemos
PC+PC = Cte o 2PC= Cte.


Si resolvemos para PC tenemos una constante entre dos (Cte/2) que resulta ser otra constante (Cte2.)
Por lo que

PC=Cte2.


Con esto comprobamos que: “La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a un punto determinado (Centro) es un valor constante (radio)".

De esta manera, por medio de las esferas de Dandelin, podemos observar el origen de las secciones cónicas de forma tridimensional, de los elementos de estas y además comprobar las definiciones de dichas secciones de forma geométrica.

Fuentes

En esta web se encuentran unas animaciones de donde saque las imagenes para explicar como se generan las secciones conicas con las esferas de dandelin. Solo falta la de la circunferencia.

Link

Libros:

ETSI Navales. Apuntes de Geometría plana. Tema 5: Cónicas. Propiedades Fundamentales

Courant, Richard. ¿Que son las matemáticas?

5 comentarios - Las esferas de Dandelin y las secciones conicas.

abelxavier
¡Está muy bien! ¡Muchas gracias! aunque es un poco avanzado para lo que suele verse por aquí.
lovecure
muy bueno post, aunque no entiendo un pomo
PedroAleman
Verga brother estoy buscando como resolver un ejercicio... Me puse a leer todo el post y no pude conseguir toda la información tal y como hubiese querido

El ejercicio dice así:

2-Considere un cono de ángulo α=30º cortado por un plano de ángulo ß=60º. Si la esfera de Dandelin pequeña tiene radio 1, calcule:
a) El radio de la esfera de Dandelín Grande
b La distancia FA, en donde F y F' son los focos de la elipse (sección cónica formada por el plano) y A y A' son los vértices de la elipse.
C) La distancia del punto A a la directriz más cercana de la elipse.
Jed_2K9 +1
Hola, una aclaración, las curvas que describen los tensores de un puente son curvas catenarias, no parábolas (no es una sección cónica) y están dadas por la ecuación general y= a * COSH (x/a) o lo que es lo mismo y = (a/2) * (e^(x/a) + e^(-x/a) ). También es útil para el diseño de arcos de soporte, porque la curva catenaria minimiza los esfuerzos de flexión y deriva las tensiones como esfuerzo de compresión.
Malkavian_Khaoz
Gracias por el comentario. Ya hace algunos años que hice el post, y debo decir que no lo sabía. Sin embargo, entiendo que se usen los tensores de un puente como ejemplo, aun que no completamente acertado, ya que el error que se genera no es importante para el fin de la explicación (matemáticas preuniversitarias).