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Hola amigos. La inducción matemática es un principio muy útil ya que nos ayuda a inferir generalidades cuando observamos cierto patrón de comportamiento de ciertas fórmulas que contienen números enteros positivos o enteros en general, por ejemplo si sumamos los primeros tres números impares, 1+3+5=9, pero desde ya podríamos ver que el valor de esa suma también lo podíamos obtener elevando 3 al cuadrado, ¿no podríamos decir entonces que si sumamos n números impares, en vez de sumar uno por uno, más fácil sería elevar ese n al cuadrado? la respuesta es sí. Pero ¿qué garantiza esa afirmación?, pues nada más ni nada menos que el principio de inducción matemática.
El post estará dividido en cuatro partes, en la número 1 se hablará de el principio de buen orden, que es el sustento del principio de inducción. Luego se verá el principio de inducción como tal. En la tercera parte se darán varios ejemplos de la aplicación del mismo, decidí colocar ejemplos que se sucedieran de acuerdo con el grado de complejidad, ya que en los libros sólo se resuelven unos cuantos ejemplos sencillos, dejando la sensación que dicho método de prueba no va más allá de unas cuantas "formulitas". Por último en la cuarta parte mencionaré lo útil de este principio en lógica matemática. Bueno no siendo más empecemos.

PARTE 1: Axioma de primer orden

Antes de hacer explícito el axioma enunciaré unas cuantas definiciones, las cuales no ejemplificaré, ya que en los textos de matemática discreta hay abundantes ejemplos de las mismas, en la bibliografía que está al final del post hay un texto que recomiendo sobre matemáticas discretas.
Definición 1


Definición 2


Principio de buen orden


PARTE 2: principio de inducción matemática (teorema)


Demostración
Procederemos por reducción al absurdo, es decir, supondremos cierta afirmación, llegando a una contradicción y, por lo tanto, tomamos como cierta la negación de la misma.


La base de la inducción no tiene por qué ser necesariamente 1, pudiendo ser cualquier otro entero tanto positivo como negativo. Por eso presento el siguiente corolario del principio de inducción (el cual no probaré) que es una generalización del mismo.
Corolario 1 (Principio de inducción matemática generalizado)


PARTE 3: Ejemplos

Ejemplo 1 (el clásico)
Este creo que es el primer ejemplo que se usa en prácticamente todos los libros que tratan sobre inducción matemática y la fórmula que se prueba disque la descubrió Gauss siendo un niño.


Ejemplo 2
Probaré ahora la afirmación que hice en la introducción del post sobre los números impares, esto es probaré que la suma de los primeros n números impares se puede calcular simplemente elevando dicho n al cuadrado.


Ejemplo 3
Este ejemplo es interesante porque resolverlo implica hacer el trabajo que realiza un científico cuando hace su trabajo, es decir, primero de acuerdo con cierta intuición a partir de ciertos casos da una generalidad y después la formaliza o prueba partiendo de unos principios antes establecidos, en este caso el principio antes establecido es el de inducción matemática.


Ejemplo 4
Ahora veremos lo que es una definición por inducción. Para ello nos valdremos símbolo sumatoria , al igual que la demostración por inducción, la definición por inducción consta de dos partes:


Aprovechándonos de esta definición demostraremos las siguientes propiedades de la sumatoria:






Ejemplo 5
Decidí incluir este ejemplo porque reúne todo lo que hemos visto; por lo tanto es el ejemplo más complejo (complejo no significa para genios, sino que reúne más cosas).






PARTE 4: Aplicaciones de la demostración por inducción a la lógica moderna

Bueno el tema no es muy sencillo y en otro post dfiniré correctamente lo que es un sistema riguroso, en dicho post mostraré el sistema axiomático que usó Russel es los Principia, ahora bien, propiedades de esos sistemas como su completud, su consistencia requieren de la demostración por inducción, en el capítulo 16 del segundo libro referencia-do en la biliografía se puede observar lo que he dicho anteriormente.

Nota: amigo que lees este post, tal vez digas, que me faltaron pasos intermedios en las parte (b) y (c), lo hice adrede para que el post sea interactivo y te invite a pensar. espero que disfrutes tanto del post como yo de haberlo escrito.

Bibliografía recomendada


1.Garrido M, Lógica simbólica, Tecnos, Madrid, 2001 Págs 540.
2. Gutierrez M., Elementos de matemáticas discretas, liberus, Madrid, 2009. Págs 180.