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La paradoja de Russell y su solución (sin historia)

Hola amigos, revisando en la internet, durante casi cuatro horas, me encontré con una de dos posibilidades:
1. O en las páginas que dicen que hay la solución, en realidad NO está, y sólo hablan de la parte histórica de la misma (razón por la cual aquí no incluyo la historia).
2. O la solución está dada en un lenguaje tan técnico lo que la hace prácticamente inaccesible a la mayoría de las personas.
Estoy contra el oscurantismo, porque es el medio mediante el cual el poder hace que las cosas NUNCA cambien, en cambio la educación disipa esa oscuridad y nos obliga a avanzar, por eso este post va encaminado a que un número mayor de personas accedan a este tipo de conocimientos y vean cómo la crítica hecha con una educación bien fundada, hace que avancemos con toda claridad.
Comencemos

¿Cuando estamos frente a una paradoja?. Bueno la idea de este post es poner información muy técnica, en un lenguaje sencillo y sin embargo no hacernos caer en falsas conclusiones y una forma de lograr ambas cosas es con los ejemplos y analogías, me voy a aprovechar de eso. Supongamos que tenemos dos opciones A y B, y que no podemos escoger ambas. No llegamos a una paradoja si nos encontramos ante un callejón sin salida en una (a esto los griegos lo llamaban aporía). Pero en la otra opción hay una salida. Así que nos encontramos en una paradoja, cuando en ambas opciones nos encontramos frente a un callejón sin salida, eso nos llevaría a pensar que estamos frente al caso de NO tener opciones. Ahora bien, a continuación dividiré el resto del post en tres partes:
1. Introducción.
2.Presentación de la paradoja como tal.
3. Presentación de la solución.
Aunque en este post usaré un lenguaje sencillo no por eso, entender tanto la paradoja como su
solución sea una situación extremadamente fácil, así que espero que tengan la paciencia para estudiarlo, a cambio les aseguro que se sentirán fascinados por entender cómo una objeción en apariencia sencilla sea capaz de generar tan grandes conmociones (al final pondré información sobre el famoso episodio de Frege y Russell suscitado por esta paradoja).

Introducción

Cuando hablamos siempre nos referimos a objetos, así por ejemplo, cuando decimos:
Nicolás y Kety son amigos

¿de qué objetos hablamos aquí?, pues de personas (Nicolás y Kety). Bien, resulta que hay una rama de las matemáticas(por favor amigo lector no te asustes con esta palabra, ya que para entender el contenido de este post no necesitas saber mucho, tal vez lo que usas a diario de la misma, poruqe aunque no creas usamos matemáticas a diario y no solo tú, todos) llamada teoría de conjuntos, en ella de los objetos de los que se hablan son precisamente conjuntos. Bueno, resulta amigo lector que las teorías matemáticas (y las de la ciencia en general) vienen dadas en forma de sistema axiomáticos consistente, no me extenderé aquí en lo que es un sistema axiomático, bástenos mi amigo con saber que en sistema axiomático consistente hay enunciados que se aceptan sin ninguna prueba formal, pero que sí se aceptan porque nos permiten extraer de ellos muchos más enunciados, y no nos conducen a decir por ejemplo que: una cosa es algo y no es ese algo, al mismo tiempo, a tales enunciados se les llama axiomas, en un principio dicha teoría se basaba en dos axiomas, aquí nos interesa sólo uno que dice:
Si P es un predicado, entonces existe el conjunto A de los elementos que verifican P

Eso de predicado, es a lo que comúnmente conocemos como predicado, es decir, son los artibudos que posdemos darle a un sujeto, ejemplo, e: María es bonita, el predicado es: bonita
A este axioma se le llama axioma de comprensión y a la teoría basada en este axioma, se le llama teoría de conjuntos ingenua, este axioma nos permite decir la siguiente frase, que es la nos dicen los profesores de primaria y de bachillerato una y otra vez:
Un conjunto es una reunión, colección o agrupación de objetos

todo parece tan "evidente" que a primera vista no caben cuestionamientos, pero eso es sólo a primera vista, aunque en esa época (afortunadamente) había alguien que no se quedó con esa primera vista, Bertrand Russell (el que es a mi juicio una de las mentes más brillantes que han pisado este planeta).
Paradoja de Russell

A los objetos de colección que conforman un conjunto los llamamos elementos y así la relación que puede haber entre elementos y conjuntos se le llama pertenencia, así si llamamos A un con junto y x uno de sus elementos, decimos que x pertenece a A. Con esto en mente clasifiquemos los conjuntos en dos tipos:
1.Conjuntos normales: los que no son elementos de sí mismos.
2.Conjuntos singulares: los que son elementos de sí mismos.
Cabe una pregunta, ¿se puede predicar que hay conjuntos que no son elementos de sí mismo?. Sí, ¿cuáles? el conjunto de cosas que son un libro. En efecto, como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que son libros NO formará parte del conjunto de todas las cosas que son libros (este ejemplo es una modificación que me encontré en: wikipedia). Así que el conjunto de cosas que no son un libro, es un conjunto singular. Ah o sea, que podemos decir que podemos tener el predicado: "x es un conjunto normal", claro porque en verdad como vimos hay conjuntos regulares, casi que que te escucho decir amigo lector: "¡ah! o sea, que por el axioma de compresión existe un conjunto cuyos elementos son precisamente los conjuntos que no son elementos de sí mismos", ¡claro! te diré yo: has entendido perfectamente, pero te propongo que lo llamemos A, luego si decimos, x pertenece a A, eso quiere decir que x es un conjunto que no es elemento de sí mismo. Ahora bien como sabemos A es un conjunto, Russell nos preguntaría:
¿A pertenece a A, o A no pertenece a A?, tenemos sólo dos opciones:
1. O le contestamos que sí, que A pertenece a A.
2. O le contestamos que A no pertenece a A.
Veamos a que nos lleva cada respuesta.
Supongamos que le contestamos que A pertenece a A, entonces estamos obligados (si respetamos la lógica claro está) a aceptar que A deba cumplir el predicado que la define, ¿lo recuerdas amigo lector?, bueno si no lo recuerdas te lo reescribo: el predicado que define a A es: x no pertenece a x, y como ya dijimos que A pertenece a A, se debe cumplir si quitamos a x del predicado y ponemos a A, que: A no pertenece a A, ¡¿cómo?!, estamos diciendo que se cumple a la vez las afirmaciones A pertenece a A y A no pertenece a A, eso es una contradicción o como decidimos llamarlo, callejón sin salida. ¡Ah! pero aún nos queda la segunda opción, a saber, contestar que A no pertenece a A, veamos a que nos lleva esa opción.
Supongamos que le respondemos, que A no pertenece a A, luego A cumple el predicado que lo define, es decir, se cumple que: x no pertenece a x, cuando A reemplaza a x, pero precisamente por cumplir A ese predicado podemos decir que A pertenece a A, ¡¿cómo?!, estamos otra vez diciendo que se cumple a la vez las afirmaciones A pertenece a A y A no pertenece a A, ese es otro callejón sin salida, y como sólo teníamos esas dos opciones, entonces nos encontramos ante lo que llamamos, una paradoja, sólo nos queda decir como decían en chapulín colorado: y ahora, ¿quién podrá defendernos?.
Solución a la paradoja

Bueno nos quedamos en la pregunta: ¿quién podrá defendernos?, podríamos decir, a ese lío llegamos por el axioma de la comprensión, desechemos-lo y busquemos otro, los matemáticos (tipos inteligentes) te dirán, no, no perdamos lo que se ha hecho, mejor: ¡mordisquemos-lo! y he aquí una genialidad: saber exactamente qué cambiar, por esta razón (la de saber qué exactamente cambiar cuando algo anda mal en una teoría) tipos como Eistein, Zermelo, y otros han sido excepcionales, veamos el axioma de compresión modificado:
Si X es un conjunto ya construido existe un conjunto A
formado por los elementos de X que satisfacen un predicado P que los describe

así que para tener un conjunto A deben cumplirse dos cosas:
1. Que los elementos de A pertenezcan a un conjunto ya construido X.
2. Que los elementos de A verifiquen un predicado P.
¿ves la diferencia amigo lector?, con el axioma de comprensión sólo bastaba con que se cumpliera 2. Bueno sea A el conjunto cuyos elementos que verifican el predicado: x no pertenece a x, donde "x" simboliza a un conjunto. Cabe la pregunta. ¿A pertenece a A o A no pertenece a A?, ¿será que se presentará otra paradoja?, veamos, nuevamente tenemos dos opciones:
1. O decimos que sí que A pertenece a A.
2. O decimos que A no pertenece a A.
Supongamos que A pertenece A, es este caso A debe cumplir el predicado que hace parte de su definición (y digo hace parte, ya que para que A sea conjunto no basta con saber que los elementos de A cumplan con el predicado, sino que también pertenezcan al conjunto X), es decir, se cumple que A no pertenece a A, ¡wuao! un callejón sin salida: decimos simultáneamente que: A pertenece a A y que A no pertenece a A. Veamos la otra opción de respuesta.
Supongamos que A no pertenece a A. Ahora bien para que A pertenezca a A se deben como ya dijimos (porque A es un conjunto), cumplir dos condiciones:
1.Que A pertenezca a X.
2.Que A no pertenezca a A.
Ahora sólo estamos seguros que se cumple 2. pero no sabemos nada de si se cumple 1., por lo tanto, podremos decir que la respuesta: A no pertenece a A, no necesariamente conduce a un callejón sin salida. ¡Wuao!, o sea, que no tenemos ante nosotros una paradoja, ¡excelente! así que tenemos la solución.
Bueno yo sé que tendré varios tipos de lectores, y los clasificaré entres tipos:
Tipo A: Los que hasta aquí son capaces de decir: ¡oye, no te quedes corto, puedes llegar a una afirmación general, sé que sabes cuál es, vamos dila!.
Tipo B: Los que aún no han visto cuál es esa afirmación general y que también quieren que la diga.
Tipo C: Todos los demás casos.
Por los lectores tipo A y B diré cuál es esa afirmación general: Sabemos que para que A pertenezca y A sea un conjunto se deben cumplir dos condiciones:
1. Que A pertenezca a X
2. Que A cumpla el predicado P que precisamente es el que deben cumplir los elementos de A.
Ahora bien, sabemos que que si ese predicado P es : x no pertenece a X, entonces la única opción que no necesariamente nos conduciría a una contradicción, es que A no pertenezca a sí mismo, pero, dijimos: "no necesariamente", así que podía dase el caso en que si afirmamos que A no pertenezca a sí mismo (teniendo en cuenta SIEMPRE que A sea el conjunto cuyos elementos cumplan el predicado: x no pertenece a x, donde "x" simboliza a un conjunto) sí nos lleve a una contradicción, ¿cuándo pasaría esto?, pues cuando A pertenezca a X, ya que en ese caso se cumpliría que:
1.A pertenece a X
2.A A cumple el predicado P que precisamente es el que deben cumplir los elementos de A, ¿cuál es ese?, pues el predicado: x no pertenece a x.
y por cumplirse esas condiciones, entonces A pertenece a A, lo que contradice el hecho de A no pertenece a A, llevándonos a un callejón sin salida y como ese callejón sin salida es insoportable, entonces tendremos que aceptar que A no pertenezca a X, así que llegamos a que el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, NO pertenece a ningún conjunto fabricado antes, lo que nos lleva a concluir (porque aceptamos que hay un conjunto construido antes), que A es precisamente el conjunto X.

Russell, Frege y la paradoja

Gottlob Frege, matemático y lógico alemán, se había propuesto llevar a cabo el llamado programa logicista, consistente en deducir toda la matemática de la lógica y darle así la más sólida de las bases. Dicho programa había de realizarse en dos pasos, en el primero de los cuales se definirían los conceptos matemáticos en función de la lógica para después, en el segundo, demostrar los teoremas matemáticos usando únicamente la lógica.

Tras veinte años de trabajo, en 1902 Frege había terminado el segundo volumen de su obra Las leyes fundamentales de la Aritmética, con la que creía haber dado por fin, mediante la teoría de conjuntos, solución a la fundamentación lógica de la matemática. De hecho el libro estaba terminándose prácticamente de imprimir cuando Frege recibió una carta de Bertrand Russell en la que el inglés le explicaba que había encontrado una paradoja en la teoría de conjuntos. A Frege solo le dio tiempo para insertar una nota al final de su libro, sin duda una de las más patéticas confesiones de la historia de la matemática:

"Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada. La carta del Sr. Bertrand Russell me ha puesto en esta situación...”.

Disculpen que el post sea tan largo, pero lo dejé así para ser lo más claro posible, tal vez alguno me dirá: "es muy redundante", eso lo hago porque preferí, la pedagogía a la economía

7 comentarios - La paradoja de Russell y su solución (sin historia)

00_New_Divide_00 +1
En editar el post, abajo a la izquierda tenes la opcion de elegir quienes queres que puedan comentar.
Nicolaspp1985 +2
@00_New_Divide_00 Gracias
Nicolaspp1985 +2
Tal vez no me entendieron, lo que quise decir es que quiero que TODOS comenten.
cafr1000
Muy interesante tu post, ¡qué bien me sentí leyéndolo! .

Lástima que mi capacidad intelectual no sea lo suficientemente alta para entenderlo .
Nicolaspp1985 +3
noooooooooooooooooooooooooooooooooo, no digas eso, mejor dí: aún no he dedicado el tiempo suficiente para entenderlo,porque ESTOY seguro que con el tiempo suficiente lo entenderás.
cafr1000 +1
@Nicolaspp1985 Bueno, bueno , tal vez por eso lo guardé en favoritos...
edusocien
Comento, pero aclaro que no leí el post todavía. Hay una paradoja y algo de teoría de conjuntos, por lo que vi, así que se ve interesante. Lo guardo en favoritos y lo leo después
Nicolaspp1985 +2
jejjjejee, ah, tú eres muy disciplinado (mucho más que yo a tu edad), seguro que pronto lo entenderás.
edusocien +2
@Nicolaspp1985 Y si no lo llegara a entender a la primera, en algún momento lo voy a entender igualmente, con dedicación y análisis generalmente todo se entiende jaja
Nicolaspp1985 +1
@edusocien lo has dicho todo.
Psico_Delico +1
No había escuchado de esta paradoja, gracias por difundirla. El planteamiento de la paradoja la hubiera entendido mejor en lenguaje de conjuntos, es decir que si hubiera sido bueno mezclarlo con el lenguaje común, Leyendo la primera parte de la solución también concluí que A=X, pero de verdad que si hubiera sido mejor unas cuantas expresiones en lenguaje de conjuntos. De todas maneras me dejaste con la inquietud y la voy a buscar en lenguaje de conjuntos en el internet. Saludos.
Nicolaspp1985 +1
gracias por comentar. Bueno no la puse en el lenguaje de primer orden extendido a la teoría de conjuntos porque la mayoría no lo maneja. En el enlace de wikipedia, está propuesta, en el lenguaje formal de primer orden, extendido a la teoría de conjuntos.
Cb4ss +2
juro que puse toda mi concentracion. pero no, no entendi, lo guardo y lo volvere a leer. Gracias por hacerme pensar un rato!
Nicolaspp1985
Dale seguro que si le dedicas más tiempo es seguro que lo entenderás. ¿cómo puedo volver a poner taringa como estaba? es decir, ¿cómo puedo hacer que no se vea como se ve ahora?.
TheOidicius
¿Tienes algo de Heidegger? Ese filósofo tan oscuro.