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Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

velocidad

Hola. Por fin la ultima parte sobre el tema =)

Esta vez veremos tres aplicaciones de vectores y un tema extra que seguro te sera útil si eres estudiante. Ya tenemos lo elemental para entender lo que veremos aquí. Si no has seguido esta serie, te recomiendo ver primero los tres post anteriores.

Los primeros dos ejemplos que veremos son muy sencillos y tienen que ver con el área de Matemáticas y de Química. Son relativamente entretenidos. Por ultimo lo mejor, del área de Física: centro de masa.

Estos ejemplos los explicare de forma sencilla para que cualquiera lo pueda entender, pero eso significa que probablemente sea de un post largo, no me gustan así (aun me siento tentado a editar la segunda parte de esta serie.); pero no hay relación entre ellos así que siéntete libre de leer solo aquellos que realmente te interesen.

Y para concluir mi introducción quiero decir que me encontré con la dificultad de cómo implementar las manzanas y otras frutas en estos ejemplos, así que solo las usare como números de mis incisos xD

Así que como inciso numero "manzana" les tengo un resumen de lo que ya sabemos.

vectores

algebra lineal.- RESUMEN

Esta hoja resume todo lo que ya vimos:

balanceo de ecuaciones quimicas

producto punto

asistencia gravitatoria.- ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA

Este es un ejemplo básico de como se usan los vectores en situaciones meramente matemáticas.
Es entretenido y hasta cierto punto, fácil. Comencemos.

Es bien sabido que para trazar una recta solo se necesitan dos puntos. Algo asi:

ecuacion vectorial

Debe entenderse de la imagen anterior que los dos extremos de la recta se alargan infinitamente. Ahora, en una materia que se llama "geometría analítica" aprendemos que a esa recta le podemos agregar un par de propiedades. La primera sería que la podemos poner sobre un plano cartesiano para así poder decir la ubicación de cada uno de sus puntos. Algo así:

Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

Y la otra cosa que podemos agregar es que existe una y solo una "receta" o "formula" que describe la posición de cada punto en la recta. Y se ve de la siguiente manera:

velocidad

Donde la letra m significa cuan inclinada es la recta y la letra b significa el el punto sobre el eje "y" donde la recta pasa.

Ahora, b la podemos ver directamente de la gráfica, en nuestro caso es "3", pero m requiere de un pequeño calculo extra. Para esto debes conocer las coordenadas de dos puntos por donde pasa tu recta. En este caso ya vimos que pasa por un punto (0,3) que es donde "corta" al eje "y" y el punto (1, 4) que esta marcado con rojo en la parte superior derecha del plano. "m" se calcula de la siguiente manera:


vectores

Por lo tanto, nuestra receta para esta recta que dibujamos nos quedaría:

algebra lineal

Esto quiere decir que las ubicaciones de todos los puntos se sacan usando esa receta. Ejemplo: Saquemos la ordenada correcta de un punto que tenga componente x= 5 ...

balanceo de ecuaciones quimicas

Esto quiere decir que sobre la recta esta el punto producto punto y dibujado se ve asi:

asistencia gravitatoria

Como ya saben, esos puntos en la recta, tienen forma de vector, entonces son vectores. Cada que introducen una cantidad para "x" en la receta, obtendrán un valor para "y" y ambas formaran un vector.

Hay un punto de vista diferente y mas bonito para esto.

Así como está nuestra gráfica, tracemos la flecha o vector que va desde el origen hasta nuestro punto de mas abajo y llamemoslo "a":

ecuacion vectorial

Las coordenadas de nuestro vector son las mismas que las del punto (-1 , 2)

Ahora saquemos un nuevo vector haciendo la resta entre dos de los puntos (como vectores), digamos , la resta entre el punto de en medio y el vector "a" y llamemos a nuestro resultado "d":

Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

Si graficamos este nuevo vector se ve así:

velocidad

Ahora observen: ¿Qué cosa nos da si sumamos el vector "a" y el "d"?:

vectores

¡Nos da el punto por el que pasa la recta!

Ahora hagamos la suma del vector "a" y tres veces el vector "d":

algebra lineal

¡También nos da otro punto sobre la recta!

Gráficamente lo anterior se ve así:

balanceo de ecuaciones quimicas

Es general, nosotros podemos obtener cualquier punto sobre la recta haciendo la suma producto punto, donde la letra "t" significa "tantas veces mas grande o chico el vectoe d ", o sea, t es un numero escalar. Esta suma nos da al final un vector con coordenadas (x,y) que corresponden a los puntos que están sobre la recta:

asistencia gravitatoria

Donde "a" es un vector por donde pasa la recta, no importa cual con tal de que pase sobre ella, y "d" es el vector que tiene la misma inclinación que la recta. Por ejemplo, si hacemos que "d" este mas parado, la recta también se hace mas parada. o si lo hacemos mas acostado, la recta tambiénse acuesta, vean los dibujos:

ecuacion vectorial

Por esto se dice que la recta tiene la dirección del vector "d".

En nuestro caso, la ecuación vectorial de la recta queda así:

Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

Donde nosotros solo debemos darle valores a t para tener un punto en la gráfica. Digamos que queremos que t=-1

velocidad

O sea que nuestro punto se encuentra en:

vectores

Y solo para comprobar usemos la ecuación y=mx+b, para ver si nos da lo mismo, es decir, si al hacer la operación con x=-3, nos da la ordenada correcta:

algebra lineal

¡Es correcto!

Este fue un ejemplo de uso de vectores en temas de matemáticas.

balanceo de ecuaciones quimicas

producto punto.- Balanceo de ecuaciones químicas

Podríamos definir una reacción química como el fenómeno donde uno o más compuestos se transforman en otros nuevos. Un ejemplo de esto seria respiración aerobia (la nuestra), donde entra oxigeno del aire, se revuelve con otra sustancia en nuestro cuerpo (glucosa) y como resultado obtenemos energía y liberamos de nuestros pulmones dióxido de carbono y vapor de agua.

En química escribimos la ecuación de la siguiente forma:

asistencia gravitatoria


Ahora bien,Cuando recién nos enseñaban química nos dijeron que había una ley todo poderosa que estaba presente en toda reacción química: La ley de la conservación de la masa.

ecuacion vectorial
La masa no se crea ni se destruye, solo se transforma.


En otras palabras, todo lo que entra en una reacción química debe salir completamente. Es decir, en mi ecuación química debo tener tantos átomos de cada elemento en un lado, como en el otro.

Vean en la ecuación anterior que no se cumple esto, por ejemplo para el carbono, que hay seis de un lado y 1 del otro. Entonces decimos que la ecuación no esta balanceada.

La ecuación balanceada queda así:

Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

Lo que se hace para balancear es poner números (llamados coeficientes) a lado de cada compuesto para lograr que en ambos lados de la ecuación haya el mismo numero de átomos por elemento. Por ejemplo el oxigeno: del lado izquierdo tenemos 6 del azúcar y 6*2 del oxigeno del aire que en total da 18 átomos de oxigeno. Ahora del lado derecho tenemos 6*2 en el dióxido de carbono y 6 del agua, que también da 18. Si cuentan los átomos de cada elemento verán que la ecuación esta bien balanceada.

¿Cómo se balancea?

Bueno, algunos sabrán del método por tanteo, que básicamente consiste en adivinar los coeficientes. Le buscas y le buscas hasta que quede balanceada. Pero como ya somos niños grandes, usaremos matemáticas ultra avanzadas.

Sigamos un ejemplo sencillo:

Cuando hacemos pasar corriente eléctrica en agua, podemos descomponerla en sus dos elementos constituyentes: el oxigeno y el hidrógeno gaseosos. A esto se le llama electrolisis. Ahora, podemos decir lo anterior en forma de una ecuación química:

velocidad

Vean que no esta balanceada. Nosotros necesitamos encontrar los coeficientes correctos para cada molécula, o sea, encontrar los números "a" , "b" y "c" que se ven aquí:

vectores

Para esto nos inventaremos unos cuantos vectores. Las tres moléculas de toda la ecuación las podemos representar con un vector del siguiente tipo:


algebra lineal

Entonces nuestra ecuación queda así:

balanceo de ecuaciones quimicas

Ahora hagamos nuestra magia con los vectores:

producto punto

Y sabemos que dos vectores son iguales solamente si sos componentes son iguales. Entonces podemos igualar las componentes:

asistencia gravitatoria

Lo que sigue es muy sencillo. A nuestra ultima incógnita ("c" ) le asignaremos el valor 1 y con eso calcularemos cuanto valen a y b.

Si c=1 entonces:

ecuacion vectorial

Y ahora que sabemos que a=2, calculamos b con la otra ecuación:

Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

y por ultimo ponemos los valores en la ecuación química original:

velocidad

¡Ya esta balanceada!

Ahora un ejemplo un poco mas complicado, pero que se resuelve de la misma forma.

El oxido de aluminio y el carbono reaccionan para formar el elemento aluminio y dióxido de carbono


La ecuación química sin balancear es así:

vectores

Nos inventamos vectores:

algebra lineal

Y escribimos la ecuación en forma de igualdad vectorial con un coeficiente para cada molecula:

balanceo de ecuaciones quimicas

Hacemos la magia:

producto punto

Igualamos componentes:

asistencia gravitatoria

Ahora le damos el valor de 1 a nuestra ultima incógnita (en este caso "d" ) y obtenemos los demás valores

Si d=1 entonces:

ecuacion vectorial

y...

Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

Si a= (2/3) entonces:

velocidad

Y sustituimos nuestros resultados en la ecuación química original:

vectores

Esto ya está matemáticamente balanceado, pero a los químicos les gusta usar solamente números enteros, así que multiplicamos TODA la ecuación por un numero que me elimine esas fracciones, en este caso el numero tres:

algebra lineal

y el resultado final es:

balanceo de ecuaciones quimicas


producto punto

asistencia gravitatoria.-Centro de masa

Este es un perfecto ejemplo de la utilidad de los vectores en física.

Primero que nada, definiremos al centro de masa como un punto o ubicación que se calcula a partir de determinada situación. Esta situación tiene que ver con la ubicación de otras masas.

Supongamos que tenemos dos canicas del mismo tamaño, separadas entre si. El centro de masa de esas dos canicas es un lugar virtual entre ellas, en este caso justo a la mitad.

ecuacion vectorial

Ahora, imagina que con una varilla rígida pero exageradamente ligera unimos a las dos canicas:

Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

Vean que el centro sigue en el mismo lugar. Ahora imaginemos que empujamos una de las canicas. Al hacerlo, nuestro "objeto" se moverá aproximadamente de la siguiente forma:

velocidad

Si en vez de eso, lo empujamos desde la otra canica, el movimiento se parecería a esto:

vectores

Si queremos que nuestro objeto se mueva como un todo, entonces podemos empujar ambas canicas a la vez:

algebra lineal

O empujar solamente el centro de masa:

balanceo de ecuaciones quimicas

El centro de masa de un conjunto de partículas, ya sea que estén separadas como las canicas, o juntas, como las moléculas de un un objeto, es un punto en donde su movimiento es equivalente a como si todas las fuerzas que actúan sobre un objeto se aplicara solamente sobre ese punto.

Cuando estudiamos, por ejemplo, como se mueve un auto (tomando al auto en su totalidad), es equivalente a estudiar como se mueve el centro de masa de un auto.

Muchos fenómenos que involucran masas separadas o un objeto con masa, los podemos estudiar solamente tomando en cuenta el centro de masa y sin tomar en cuenta la forma del objeto. Por ejemplo un pino de boliche. Su forma es complicada, pero si lo lanzamos por el aire, podemos estudiar muchas cosas sobre su movimiento poniendo atención solamente a su centro de masa.

producto punto

La forma en como se calcula el centro de masa es sencilla, seguimos la siguiente receta, donde "r" son los vectores de la posicion, y m las masas:

asistencia gravitatoria

Para ver como se aplica, pongamos un ejemplo: Tenemos dos canicas, la canica uno y la canica 2. Estas las tenemos ubicadas en un plano (imagina que estamos viendo el suelo desde arriba) entonces sabemos sus ubicaciones como vectores. Las dos canicas tienen la misma masa: 10 gramos.

Todo lo descrito lo vemos en la siguiente ilustración.


ecuacion vectorial

Es de esperar que el centro de masa esté entre las dos canicas, a la mitad exactamente. La receta la aplicamos así:

El vector de la posición de la canica uno, es r1 y el vector de la otra es r2. Como no hay mas partículas, hasta ahí usamos la formula:

Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

Sustituimos nuestros valores:

velocidad

Y resolvemos, como ya sabemos:

vectores
algebra lineal
balanceo de ecuaciones quimicas
producto punto
asistencia gravitatoria

Ahora ubicamos nuestro nuevo vector en el plano:

ecuacion vectorial

¡Justo a la mitad! =D

Bueno, para terminar de entender hagamos un ejemplo mas. La misma situacion pero con una tercera canica pero esta vez de 20 gramos de masa, aquí el plano:

Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

Como ahora tenemos tres partículas, a nuestra formula le agregaremos el elemento necesario:

velocidad

Sustituimos valores y resolvemos:

vectores
algebra lineal
balanceo de ecuaciones quimicas
producto punto
asistencia gravitatoria
ecuacion vectorial

y ahora vemos el punto en el plano:

Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

Noten algo: El punto que nos salió esta a la mitad del camino entre el centro de masa que calculamos primero para dos partículas, y la tercera canica.

velocidad

¡Es es como si el centro de masa fuera un partícula con la masa total del sistema interactuando con la tercera! Vean el dibujo:

vectores

algebra lineal




balanceo de ecuaciones quimicas Espero que de algo les sirva esta serie que hice.¡ Comenten!

6 comentarios - Vectores con manzanas y otras frutas [4/4]

CrazyAnarchy +4
Tremendo post lince!! Los vectores son básicos para el primer año de Ingeniería y los aprendí más aquí que en todo mi semestre, +10
mladiciones
Gracias. Ya valió la pena haberlos hecho. Saludos!
rampagewil +1
siempre en ingenieria aunque con menos intensidad en años superiores
Hazail
Ya entendí mejor las aplicaciones ¡Gracias!
bot-herni +1
Ni lo leí pero te mandaste, +5
Aktub +1
Excelente aporte!
mladiciones
Gracias. Saludos.
Azartth
No puedo creer que esta increíble pieza de inteligencia celestial tenga tan pocos puntos.
Eres increíble! Descuidé tus posts y ¡toma! Me encontré con esto.
Gracias por el tiempo que te tomaste en hacer esto. Estoy en primer semestre de ingeniería y ando muerto en cálculo y balanceo de ecuaciones en química.

De verdad, de todo corazón te lo agradezco. Y con tu permiso, me gustaría tomar capturas de pantalla de tus posts, no vaya a jugarla mal T! y me vaya a terminar de matar.

Muchas gracias!