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Álgebra lineal (megapost) Parte 1

Buenas noches amigos, les traigo este post para aquellos que estén como yo padeciendo con esta materia y por que no también para aquellos que les interese por algún otra cuestión. Como siempre caigo en la misma pagina para ver ejemplos y aprender sobre álgebra lineal, les comparto para que se dejen de joder con tanta política y aprendan un poco.


Álgebra lineal (megapost) Parte 1


PRIMERO QUE NADA LES DEJO UN APUNTE MUY BUENO SOBRE LA APLICACIÓN DE ÁLGEBRA LINEAL EN LA VIDA COTIDIANA, PARA AQUELLOS QUE QUIERAN SABER UN POCO SOBRE ESTO.

Link: https://www.researchgate.net/publication/216456908_Aplicaciones_del_Algebra_Lineal_en_la_vida_cotidiana

matematicas


Ahora si comencemos...


Vectores

Concepto de vectores

algebra


El concepto de vectores incluye varias cosas, vector es un término que se deriva del vocablo latino y significa “que conduce”. En la física un vector es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido.

Magnitud:

Es la longitud del vector, para conocerla se necesita saber el origen y el extremo del vector, para poder medir desde donde empieza hasta donde termina. La magnitud es un número.

Dirección:

Es la orientación en el espacio de la recta. La dirección está dada por un ángulo.

Sentido:

Se indica con una flecha, indica hacia que lado se dirige el vector. El sentido está dado por un signo (+ ó -).

Origen:

Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Concepto de vectores

Un vector se utiliza para representar una magnitud física que tiene dirección y sentido, su expresión geométrica es un segmento de recta con punta de flecha. Algunos ejemplos de magnitudes vectoriales son: fuerza, velocidad, aceleración y desplazamiento.

Se pueden realizar las operaciones con los vectores, las más frecuentes son: suma, resta, producto por un escalar, etc.

Los vectores se representan por flechas.


El sistema de referencia que normalmente se usa es el “Sistema de coordenadas cartesianas“, para representar los vectores en el plano cartesiano usamos tres vectores unitarios con dimesión 1, son perpendiculares entre sí y representan cada eje del sistema de referencia.

Al eje de las “x” se le representa con el vector unitario i.

Al eje de las “y” se le representa con el vector unitario j.

Al eje de las “z” se le representa con el vector unitario k.


sumas


vectores


Operaciones con vectores

operaciones


¿Qué operaciones de vectores puedes hacer? aquí te explicare a detalle que procedimientos se utilizan para hacer sumas, restas y multiplicaciones de vectores.

Operaciones de vectores

Suma de vectores


Una suma de vectores se puede hacer de dos maneras, sumando por componentes o por un método gráfico.

Suma de vectores por componentes

Para hacer una suma de vectores por componentes necesitamos saber las componentes en “x” y en “y” de cada vector, y ¿cómo obtener las componentes de un vector?

calculos


a = 55 N

b = 30 N

Primero sacamos los ángulos de cada vector al eje “x” positivo en sentido opuesto al de las manecillas.

θ a =125°

θ b = 180 + 90 – 10 = 260°

Ahora sacamos las componentes en “x” multiplicando la magnitud por el coseno del ángulo al eje “x” positivo.

ax = 55N (cos 125°) = -31.55 N

bx = 30N (cos 260°) = -5.2 N

Ahora sacamos las componentes en “y” multiplicando la magnitud por el seno del ángulo al eje “x” positivo.

ay = 55N (sen 125°) = 45.05 N

by = 30N (sen 260°) = -29.54 N

**Este método tiene la ventaja de sumar o restar dos o más vectores a la vez.

Ahora sumamos las componentes en “x” y en “y”

a+b = <-36.75, 15.51>

El vector resultante tiene una magnitud de 39.89 N.

Suma de vectores por el método del paralelogramo

Una suma de vectores por este método se realiza trazando los dos vectores desde el mismo origen y formar un paralelogramo trazando líneas paralelas a los vectores, la resultante es la diagonal que se traza desde el origen.

Ejemplo:

Tenemos los siguientes dos vectores:

Álgebra lineal (megapost) Parte 1


Trazamos el vector “a” y el vector “b” desde el mismo origen y hacemos una línea paralela a cada vector para formar un paralelogramo y unimos la diagonal que va desde el origen, ese vector será la resultante:

matematicas


Suma de vectores por el método cola a punta

Para hacer una suma de vectores por este método se utilizan la regla y el transportador, existe una regla general y es la siguiente:

1. Usar la misma escala para todos los vectores
2. Trazar un vector (el orden no es importante)
3. Trazar el segundo vector, empezando desde el final del primer vector (la punta de la flecha), hay que dibujar correctamente el vector cuidando el ángulo, longitud y sentido.
4. La suma de los dos vectores es la flecha que se traza desde el principio del primer vector hasta la punta del segundo.

NOTA: este método se puede usar con más vectores.

Ejemplo:

Tenemos los siguientes dos vectores:

algebra


Ahora trazamos el vector “a” y en la punta de la flecha trazamos el vector “b”, unimos el inicio de a con la punta de b y tendremos nuestro vector resultante:

sumas


Resta de vectores

La diferencia de vectores a y b será otro vector c = a – b que se puede expresar como una suma, la suma de a y el opuesto de b:

vectores


el opuesto del vector b tiene la misma magnitud y la misma dirección pero sentido opuesto.

operaciones

Opuesto de un vector


Como vimos en la fórmula, convertimos la resta en una suma, entonces tenemos que representar el opuesto del segundo vector y lo sumamos con el primero y ya podemos resolver la suma con cualquiera de los métodos para sumar vistos anteriormente.

Multiplicación de vectores

El producto de vectores u y v es otro vector, su dirección es perpendicular a los dos vectores, su sentido está dado por la regla de la mano derecha, su magnitud es:

calculos


α es el ángulo entre los dos vectores.

El producto de vectores se puede expresar con determinantes:

Álgebra lineal (megapost) Parte 1


Ejemplo

matematicas


algebra


Cálculo de vectores

sumas


El cálculo de vectores o cálculo vectorial es una rama de las matemáticas que estudia a los vectores y nos ayuda a solucionar problemas de la física.

Cálculo de vectores

Hay dos tipos de magnitudes físicas, las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales.


  • Magnitudes escalares: sólo son un número, como la masa, la temperatura etc.
  • Magnitudes vectoriales: tienen una cantidad, dirección y sentido, como la fuerza, el desplazamiento etc.

  • Un vector es un segmento en el espacio, tiene cuatro características principales:

    1. Origen
    2. Dirección (ángulo)
    3. Sentido (signo)
    4. Módulo o longitud (cantidad)

    Un vector se puede representar con una flecha que indica el sentido y la longitud es la cantidad del vector:

    vectores


    Este vector se representa como:

    operaciones


    o también por el nombre del vector “a“, la longitud del segmento PQ es el módulo y se representa como:

    calculos


    El vector unitario es aquel vector que tiene módulo 1, se suelen representar con un símbolo ^ encima.

    Componentes de un vector

    En dos dimensiones un vector se puede descomponer en sus componentes ax y ay.

    ax = a cos α

    ay= a sen α


    siendo α el ángulo medido desde el eje “x” positivo en sentido opuesto a las manecillas del reloj.

    a² = ax² +ay²


    Operaciones con vectores

    Suma de vectores
    Una suma de vectores se puede hacer de dos maneras, sumando por componentes o por un método gráfico.

    Suma de vectores por componentes

    Para hacer una suma de vectores por componentes necesitamos saber las componentes en “x” y en “y” de cada vector, y ¿cómo obtener las componentes de un vector?

    Álgebra lineal (megapost) Parte 1


    a = 55 N

    b = 30 N

    Primero sacamos los ángulos de cada vector al eje “x” positivo en sentido opuesto al de las manecillas.

    θ a =125°

    θ b = 180 + 90 – 10 = 260°

    Ahora sacamos las componentes en “x” multiplicando la magnitud por el coseno del ángulo al eje “x” positivo.

    ax = 55N (cos 125°) = -31.55 N

    bx = 30N (cos 260°) = -5.2 N

    Ahora sacamos las componentes en “y” multiplicando la magnitud por el seno del ángulo al eje “x” positivo.

    ay = 55N (sen 125°) = 45.05 N

    by = 30N (sen 260°) = -29.54 N

    **Este método tiene la ventaja de sumar o restar dos o más vectores a la vez.

    Ahora sumamos las componentes en “x” y en “y”

    a+b = <-36.75, 15.51>

    El vector resultante tiene una magnitud de 39.89 N.


    Suma de vectores por el método del paralelogramo

    Una suma de vectores por este método se realiza trazando los dos vectores desde el mismo origen y formar un paralelogramo trazando líneas paralelas a los vectores, la resultante es la diagonal que se traza desde el origen.

    Ejemplo:

    Tenemos los siguientes dos vectores:

    matematicas


    Trazamos el vector “a” y el vector “b” desde el mismo origen y hacemos una línea paralela a cada vector para formar un paralelogramo y unimos la diagonal que va desde el origen, ese vector será la resultante:

    algebra


    Suma de vectores por el método cola a punta

    Para hacer una suma de vectores por este método se utilizan la regla y el transportador, existe una regla general y es la siguiente:

    1. Usar la misma escala para todos los vectores
    2. Trazar un vector (el orden no es importante)
    3. Trazar el segundo vector, empezando desde el final del primer vector (la punta de la flecha), hay que dibujar correctamente el vector cuidando el ángulo, longitud y sentido.
    4. La suma de los dos vectores es la flecha que se traza desde el principio del primer vector hasta la punta del segundo.

    NOTA: este método se puede usar con más vectores.

    Ejemplo:

    Tenemos los siguientes dos vectores:

    sumas


    Ahora trazamos el vector “a” y en la punta de la flecha trazamos el vector “b”, unimos el inicio de a con la punta de b y tendremos nuestro vector resultante:

    vectores


    Resta de vectores

    La diferencia de vectores a y b será otro vector c = a – b que se puede expresar como una suma, la suma de a y el opuesto de b:

    operaciones


    el opuesto del vector b tiene la misma magnitud y la misma dirección pero sentido opuesto.

    calculos

    Opuesto de un vector


    Como vimos en la fórmula, convertimos la resta en una suma, entonces tenemos que representar el opuesto del segundo vector y lo sumamos con el primero y ya podemos resolver la suma con cualquiera de los métodos para sumar vistos anteriormente.

    Multiplicación de vectores

    El producto de vectores u y v es otro vector, su dirección es perpendicular a los dos vectores, su sentido está dado por la regla de la mano derecha, su magnitud es:

    Álgebra lineal (megapost) Parte 1


    α es el ángulo entre los dos vectores.

    El producto de vectores se puede expresar con determinantes:

    matematicas


    Ejemplo

    algebra


    sumas


    Magnitud de vectores

    La magnitud de vectores es la distancia entre el punto inicial P y el punto final Q de un vector . En símbolos la magnitud de vectores es escrita como:

    vectores


    y el vector que empieza en P y termina en Q se escribe como:

    operaciones


    Una cantidad que tenga magnitud y dirección se denomina vector.

    calculos


    Magnitud de vectores

    Si se conocen las coordenadas de los dos puntos

    Si se conocen las coordenadas del vector, entonces se pueden obtener magnitud de vectores con sólo sustituir en la fórmula de distancia:

    Álgebra lineal (megapost) Parte 1


    Dirección de un vector

    La dirección de un vector es la medida del ángulo que hace con una línea horizontal.

    Una de las fórmulas siguientes puede ser usada para encontrar la dirección de un vector:

    matematicas


    ( x1 , y1 ) es el punto inicial “P” y ( x2 , y2 ) es el punto terminal “Q”.

    Si se conocen las componentes del vector
    Un vector también se puede expresar como <-2, 3>, cada número se llama componente, en este vector el -2 representa la fuerza en la dirección x y el 3 representa el movimiento en la dirección y.

    Para obtener la magnitud del vector <x. y> se utiliza la fórmula de la distancia:

    algebra


    sumas


    Vectores, Suma y Resta de Vectores

    Un vector es un segmento de recta que tiene magnitud, sentido y dirección.

    vectores


    Para calcular su magnitud se hace de la siguiente manera:

    |V|=√x^2 +y^2


    Es decir, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las mediciones del vector nos da la magnitud de éste.



    Para calcular su dirección, es decir el ángulo del vector se hace de la siguiente manera:

    Θ=Tan^-1 y/x



    Es decir, la dirección es la tangente a la menos 1 de la división de la medición de y sobre la medición de x.

    Esto es solo para vectores sencillos, cuando se te presentan dos vectores varían un poco las maneras de calcular la magnitud y la dirección.



    La magnitud se calcula de la siguiente manera:



    |V|= √[(x2-x1)^2 +(y2-y1)^2]




    Es decir, la magnitud ahora sera la raíz cuadrada de la resta de las mediciones de x2 menos x1 mas la resta de las mediciones de y2 menos y1.



    Y la dirección sera así:

    Θ=Tan^-1 yz-y1/x2-x1




    Es decir, la tangente a la menos 1 de la division de la resta de y2 menos y1 sobre la resta de x2 menos x1.



    A continuación unos ejemplos:



    1. Calcular magnitud y dirección del siguiente vector:



    V(3,7)

    El 3 es X y 7 es Y.

    SIEMPRE el numero de la izquierda sera X y el de la derecha Y.



    Entonces su magnitud es:

    |V|=√3^2 + 7^2 = √58

    *Para evitar el uso de decimales, cuando la raíz no es exacta la dejamos expresada.



    Y la dirección de este vector seria:

    Θ=Tan^-1 (7/3) = 66.8

    *El resultado de la dirección siempre sera en grados.



    Ahora un ejemplo con dos vectores:

    U(3,2)
    V(4,1)



    Su magnitud sería:

    |V|=√4-3^2 + 1-2^2 = √2



    Y su dirección:

    Θ=Tan^-1 (4-3/1-2) = -45 = 360 – 45 = 315

    *Cuando sale de la operación el ángulo negative se le suma 360 y el resultado es la dirección del vector.



    Esa es la manera de calcular el sentido y la dirección en vectores, ya sea de uno o de dos, ahora vienen las operaciones de vectores que son la suma, la resta y la multiplicación.



    Suma de Vectores:

    operaciones


    Para sumar vectores es sencillo, con los dos que tienes sean U(X1,Y1) y V(X2,Y2), se suman sus correspondientes, es decir el vector U+V seria igual a [(X1+X2), (Y1+Y2)]



    Ya con el vector resultante, es decir la suma, para conocer su magnitud y dirección es de la misma manera ya vista de cuando se tiene un vector, se hace del vector resultante.

    A continuación unos ejemplos para dejar mas clara la suma:



    1. Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante.



    U(3,2) V(4,5)



    U+V=(3+4),(2+5)=(7,7)



    Su magnitud:

    |U+V|= √7^2 + 7^2 = √98 = 72



    Dirección del vector resultante:

    Θ=Tan^-1 (7/7) = 45

    Así es como fuera un ejemplo de suma de vectores y sacar su magnitud y dirección, así como también te pueden pedir un ejercicio completo también necesites sacar la dirección y magnitude de cada vector como veremos a continuación.



    2. Sumar los vectores y sacar la magnitud y dirección del vector resultante y los dos vectores.



    U(2,2) V(4,6)

    U+V=(2+4),(2+6)=(6,8)



    Magnitudes:

    |U| = √2^2 + 2^2 = √8

    |V| = √4^2 + 6^2 = √52

    |U+V|=√6^2 + 8^2 = √100 = 10



    Direcciones de los vectores:

    ΘU =Tan^-1 (2/2) = 45

    Θ=Tan^-1 (6/4) = 56.3

    Θ=Tan^-1 (8/6) = 53.13

    Esto es suma de vectores ahora prosigamos con algo muy similar a la suma como lo es la resta de vectores.



    Resta de Vectores:

    calculos


    Así como la suma la resta es muy parecida, lo único diferente es que en igual de sumar restaremos los valores por sus correspondientes, es decir, teniendo U(X1,Y1) y V(X2,Y2) U-V seria (X1-X2),(Y1-Y2) y V-U seria (X2-X1),(Y2-Y1), ojo aquí si es diferente el orden de los vectores pues afecta al vector resultante no como en la suma que era igual como estuvieran acomodados.

    Aquí un ejemplo para que quede claro:



    1. Restar los vectores y sacar los vectores resultantes posibles.



    U=(3,7,5) V=(2,4,8)



    U-V = (3-2, 7-4, 5-8) = (1,3,-3)

    V-U = (2-3, 4-7, 8-5) = (-1,-3,3)



    Ahora vamos a otro ejemplo mas completo sacando la magnitud de ambos vectores resultantes del ejemplo anterior.



    2. Retomando los vectores resultantes del ejemplo anterior calcula la magnitud de cada vector.



    |U-V|=√1^2 + 3^2 + 3^2 = √19

    *La magnitud sera la misma de ambos vectores resultantes pues son los mismos datos únicamente diferente signo y al estar elevados al cuadrado el signo no afecta al producto final.



    Es igual que la suma se puede hacer tanto sacar como la magnitud y dirección del vector resultante así como de los vectores dados.

    A continuación mas ejercicios para resolver con suma y resta y encontrando la dirección y magnitud de los vectores:

    1) Sumar los vectores dados y encontrar su magnitud y dirección así como la de los vectores dados

    a) U=(2,4) V=(5,8)

    b) U=(1,5) V=(3,9)



    2) Restar los vectores dados y encontrar su magnitud y dirección así como la de los vectores dados.

    a) U=(1,4) V=(4,10)

    b) U=(2,1) V=(7,7)

    Álgebra lineal (megapost) Parte 1


    Vectores: Producto Punto y Producto Cruz

    Para los vectores existen dos modos o maneras de multiplicarlos

    • Producto Punto
    • Producto Cruz

    Veremos cada uno por separado para entenderlos de la mejor manera

    Producto Punto

    matematicas


    El Producto punto de dos vectores será un numero escalar y se hará de la siguiente manera:

    Teniendo los vectores U = (X1,Y1,Z1) y V = (X2,Y2,Z2)

    El producto punto es U.V y sería igual a = X1.X2 + Y1.Y2 + Z1.Z2 = K

    K es el escalar resultante a la multiplicación de los vectores.

    Es decir el producto punto es la suma de las mediciones multiplicadas por sus respectivas de los vectores.

    Para sacar la magnitud del producto punto de los vectores es elevar el resultado al cuadrado y sacar su raíz, prácticamente igual que como lo hacíamos solo que aquí sera nada mas del escalar. Si se pide la magnitud de los vectores dados es igual que como lo veníamos haciendo.

    Pero para la dirección si cambia un poco, existen dos maneras de sacar la dirección de un producto punto:

    1) La primera es Θ = Cos^-1 U.V(Producto Punto) / |U||V|

    Es decir, para sacar la dirección es el coseno a la menos 1 de la division del producto punto entre la multiplicación de las magnitudes de los dos vectores.

    2) Y la segunda da el mismo resultado pero es primero sacar Beta y después alfa y restar ambas. En formulas sería:

    β = Tan^-1 Y1/X1

    ∝ = Tan ^-1 Y2/X2

    Θ = β – ∝

    Ambas maneras de sacar la dirección deben de llegar al mismo resultado.

    A continuación un ejemplo para dejar en claro como hacer el producto punto, sacar su magnitud y dirección.

    1. Calcular el producto punto de los siguientes vectores, así como su magnitud y dirección.

    U = (3,7)

    V = (6,3)

    U.V = 3.6 + 7.3 = 18 + 21 = 39

    |U.V| = √39^2=39

    Para la dirección usaremos ambas maneras para que vean que con las dos se puede llegar al mismo resultado

    1) Hay que primero calcular las magnitudes de U y V que son:

    |U| = √3^2 + 7^2 = √58

    |V| = √6^2 + 3^2 = √45

    Θ = Cos^-1 [39/ √58 .√45 = 40.23

    2) Para la segunda manera hay que sacar alfa y beta y restarle a beta alfa. Tenemos:

    β = Tan^-1 (7/3) = 66.8

    ∝ = Tan ^-1 (3/6) = 26.56

    Θ = 66.8 – 26.56 = 40.23

    Y como se aprecia ambos resultados son iguales.

    Así es como se realiza el producto punto en vectores y se saca su magnitud y dirección. Momento de pasar al otro método.



    Producto Cruz

    algebra


    El producto cruz no se puede para todo, para que se pueda sacar el producto cruz a los vectores debe de ser para aquellos vectores en tercera dimensión (3D).

    El Producto cruz es el determinante de la matriz que se genera por los dos vectores con la primer linea de i, j y k. Es decir como resultado tendremos un vector y para poder calcularlo hay que hacer el uso de determinantes.

    La manera es la siguiente:

    Teniendo

    U = ai + bj + ck

    V = di + ej + fk

    [i j k]

    UxV = Det [a b c]

    [d e f]

    [i j k]

    VxU = Det [d e f]

    [a b c]

    Lo que nos lleva a que UxV = VxU entonces no importa de que manera efectuemos para sacar nuestro producto cruz es igual.

    Para el Producto cruz sacar su magnitud es igual la suma de los cuadrados de sus constantes del vector y su area es de un modo distinto porque se produce un paralelogramo.

    Para este paralelogramo primero se saca su area, pero lo curioso es que su area es igual que la magnitud solo que añadiendo unidades cuadradas.

    Y para la dirección se hace de la siguiente manera Θ = Sen ^-1 [|UxV| / |U||V|].

    Es decir, el seno a la menos 1 de la division de la magnitud del producto cruz sobre la multiplicación de las magnitudes de los vectores.

    A continuación un ejemplo para que sea mas gráfica la apreciación de como obtener el producto cruz de dos vectores.

    1. Calcular el producto cruz de los siguientes vectores:

    U = 2i +3j + k

    V = i + j + 2k

    UxV = Det [i j k] i j

    [2 3 1] 2 3

    [1 1 2] 1 1

    Multiplicando y sumando las diagonales principales y restando le la multiplicación y suma de las otras diagonales Tenemos: 6i + j + 2k – (3k + i + 4j) = 5i – 3j – k

    El producto cruz es 5i – 3j – k

    Su magnitud sería: |UXV|=√(5^2 + -3^2 + -1^2)=√35

    Su area: √35 u^2

    Su dirección: Para esta primero hay que sacar las magnitudes de los vectores

    |U| = √6

    |V| = √14

    Θ = Sen ^-1 [√35 / √6.√14] = 40.20

    Simple y sencillo todo el método.



    Ejercicios de Producto Punto y Producto Cruz:

    1. Calcular el producto punto de los siguientes vectores así como su magnitud y dirección:

    a) U = (5,4) V = (2,1)

    b) U = (4,7) V = (1,8)

    2. Calcular el producto cruz de los siguientes vectores:

    a) U = 3i +4j + 6k y V = 3i + 5j + 2k

    b) U = i +5j + 2k y V = 4i + 3j + 4k

    sumas


    Proyecciones de Vectores y Vectores Ortogonales

    Existen dos tipos de proyecciones de vectores:

    Proyección de U en V y la Proyección de V en U. Explicaremos una por una.

    Proyección de U en V

    vectores


    La proyección de U en V es proporcional a V

    La manera de calcularla es la siguiente:

    Proy v U = [(U.V)/|V|^2] V

    Donde U.V es el producto punto de los vectores, |V|^2 es la magnitud del vector V al cuadrado y toda esa operación por V que es el vector.

    Proyección de V en U

    operaciones


    La proyección de V en U es proporcional a U.

    La manera de calcularla es la siguiente:

    Proy u V = [(U.V)/|U|^2] U

    Donde U.V es el producto punto, |U|^2 es la magnitud de U al cuadrado y toda esa operación es multiplicada por U.

    La manera de aplicar esto en ejercicios es cuando se te dan dos vectores y te piden que las saques, veremos un ejemplo sencillo.

    1. Teniendo los vectores U=(3,4) y V=(5,6), calcula las proyecciones de los vectores.

    Proyección de U en V (Proy v U) =[(3.5 + 4.6)/(√61)^2] . (5,6)

    Lo que tenemos que hacer primero es realizar el producto punto de arriba y ya con eso resolver la primera parte antes de multiplicar por el vector correspondiente. Nos queda la primer operación

    Proy v U = 39/69 (5,6)

    Y esta multiplicación la manera de realizarla es el escalar de afuera por cada uno de los de adentro de manera que nos quedara un vector que en esta caso seria la proyección.

    Proy v U = (195/61, 234/61)

    Ahora procedemos con nuestra siguiente proyección que es la de V en U.

    Proyección de v en U (Proy u V) = [(3.5 + 4.6)/|(√25)^2] (3,4)

    Igual que en la proyección anterior primero realizamos nuestra operación principal y después multiplicamos por el vector correspondiente y tenemos:

    Proy u V = 39/25 (3,4)

    Y ahora si efectuamos las multiplicaciones para obtener nuestra proyección y nos queda:

    Proy u V = (117/25, 156/25)

    Es la manera como se realizan ejercicios de sacar proyecciones de vectores, pero no es lo único nada mas saber la proyección sino que también nos sirve para conocer el vector ortogonal.

    Así que lo siguiente es ver Vectores ortogonales a otro vector para sacarle mas provecho a las proyecciones.



    Vectores Ortogonales a otro vector.

    Para calcular estos se hace de la siguiente manera:

    Para U = U – Proy v U

    Para V = V – Proy u V

    No es muy difícil pero es importante saber como sacar estos vectores para cuando se nos presenten problemas completos.

    Aquí les tenemos un ejemplo para sacar estos con el ejercicio anterior que resolvimos y sacamos las proyecciones.

    1. Teniendo las proyecciones de u y de v calcular los vectores ortogonales.

    Proy v U = (195/61, 234/61)

    Proy u V = (117/25, 156/25)

    a) Para U = U – Proy v U = (3,4) – (195/61, 234/61)

    Se hace x menos x y y menos y y tenemos:

    Para U = (-12/61, 10/61)

    b) Para V = V – Proy u V = (5,6) – (117/25, 156/25)

    Igual x con x y y con y, nos queda:

    Para V = (8/25, -6/25)

    Solo consiste en restarle al vector su proyección correspondiente.

    Ahora un ejemplo completo donde desde el inicio tengamos que a través de dos vectores sacar sus proyecciones y después sus vectores ortogonales.

    2. Teniendo los vectores U=(3,2) y V =(1/2, 1/2) Sacar las proyecciones y vectores ortogonales.

    Primero calculamos la magnitud de los vectores para ya sustituirlos en las formulas.

    |V| = √(1/2)^2 + (1/2)^2 = √1/4 + 1/4 = √1/2

    |U| = √3^2 + 2^2 = √9+4=√13

    Ahora calculamos proyección por proyección empezamos con Proy v U

    Proy v U = [(3.1/2 + 2.1/2) / (√1/2)^2] (1/2, 1/2)



    El producto punto nos queda 5/2 y el denominador de nuestra primera parte de la operación 1/2 porque se va la raíz con la elevación al cuadrado y tenemos:

    Proy v U = 5/2 / 1/2 (1/2, 1/2) = (5/4 / 1/2, 5/4 / 1/2)

    Proy v U = (5/2, 5/2)

    Continuamos con la Proy u V y tenemos:

    Proy u V = [(5/2)/(√13)^2] (3,2)

    Producto punto ya lo conocemos entonces es fácil sustituir y tenemos como primera parte:

    Proy u V = 5/2 / 13 (3,2)

    Hacemos la multiplicación:

    Proy u V = (15/26, 5/13)

    Ya con las proyecciones procedemos a las ortogonales y tenemos:

    a) Para U = (3,2) – (5/2, 5/2) = (1/2, -1/2)

    b) Para V = (1/2, 1.2) – (15/26, 5/13) = (-1/13, 3/26)

    Y terminamos, es todo lo que se tiene que hacer, a continuación les dejamos mas ejercicios para resolver por su cuenta.



    Mas ejercicios:

    1. Según los vectores dados calcular proyecciones y vectores ortogonales.

    a) U=(-5,-10) V=(-8,7)

    b) U=(-6,9) V=(-2,2)

    c) U=(1,4) V=(3,-1)

    d) U=(-7,-5) V=(1,1)


    calculos

    Comentarios Destacados

    Azhurkral +85
    Uhhh que piola, lo hubieses posteado al principio del cuatrimestre, cuando me interesaba
    Álgebra lineal (megapost) Parte 1

    26 comentarios - Álgebra lineal (megapost) Parte 1

    NICOY +3
    no entiendo nada amigo, pero tremendo post!
    juanm4nuel +5
    recomiendo cursar algebra y despues fisica. se hace mas facil el calculo de fuerzas en fisica.
    -DonSoborno- +1
    Fue jodida, la aprobe por suerte de haber encontrado una guia con ejercicios resueltos
    leanwizard +1
    Muy bueno, cuando puedas subi más
    riririririririr -7
    Para que me sirve las matematicas si todo es mentira

    link: https://www.youtube.com/watch?v=VHCJBGhZlQs
    la_parca_ +7
    Ojala esto se haga top, no las boludeces de la empanada rancia
    UstedesDiabolico -1
    Ojala pero no creo acá hay pocos que valoran los post que realmente suman para aprender algo.
    gordocontetaz +3
    Pensé que ibas a hablar de transformaciones lineales, isomorfismo e ipomorfismo. Estoy en otro nivel, igual se agradece papu
    UstedesDiabolico +3
    La idea es seguir con todo pero en partes ya que se hace muy largo sino el post.
    CamioneritoKawai -7
    a mi novia no le viene, que creen que sera ? :/

    matematicas
    Camilox13 +7
    Yo la dejé embarazada. Sorry.
    Soy_3D_Veo_2D +7
    que te va cagar a palos por andar boludeando en taringa
    algebra
    JuanI92 +1
    buen post.. me gusto.. es una lastima que deje la facultad por cuestiones personales.. y no le puse voluntad, no di ni el 5% de lo que puedo dar...
    UstedesDiabolico
    que lastima, igual se te puede dar mas adelante
    EzG24 +1
    Me dio paja leer pero toma +10 porque parece que le pusiste ganas papu
    Sale top?
    UstedesDiabolico +1
    jajaja, gracias capo. top no creo
    EzG24
    @UstedesDiabolico casi 200 puntos en una hora, va lindo por ahora
    Katus158 +1
    Después de cursar esta materia del orto Gauss se ganó todo mi odio
    DenisC10
    @MarkBus Que carrera? si es una con mucha matematica como ingenieria te puede convenir hacerte preparar con profesor particular, podrias probar por vos mismo (primero estudiando cosas que deberia enseñarte en el secundario pero que no lo hayan hecho).
    DenisC10 +1
    @MarkBus Algo que podrias hacer es ir a la fotocopiadora de la facultad que vayas a ir y pedir los apuntes de primer año (y lo que haya del ingreso si es que tienen). Que te pasen por pendrive o sacas fotocopia, esta tactica depende de la facultad jaja
    MarkBus
    @DenisC10 quiero estudiar ingenieria en sistemas. en realidad me falta un año para terminar, pero yo queria ver este tema de algebra porque me interesa saber hacerlo, no porque lo necesite actualmente, y mi pregunta es , es facil aprenderlo desde 0 ? y no creo que necesite un profesor particular, hoy en dia hay muchos tutoriales en internet donde enseñan esto e incluso por youtube.
    Drio_O +1
    Me hiciste acordar de todo ese antro, menos mal que ya la aprobe +10 papu
    saber999 +1
    yo queria leer el post así de mucho. Osea, menos de 900 ejemplos
    Quisiera que fueran 17000 pero...
    sumas
    mdgo7 +1
    el otro semestre veo esta materia, por el momento a fav, luego leo (aunque casi siempre pasa que allá en fav se quedan, nunca los vuelvo a ver, espero este sea la exepción)
    Uma_delicia
    hacete un post de analisis matematico 1 q la tengo q recursar
    juli50 +1
    @MilesD1993 si, se la pone al thomas el gran Stewart
    MarkBus
    @MilesD1993 podes hacer uno de sosiendad y estado?
    MilesD1993
    @MarkBus Ni idea de eso, si es matemática,física, química te puedo dar una mano.
    -An7rAk-
    Rendí algebra lineal el lunes, todavia no me dieron la nota. Igualmente mas avanzado que esto, lo que pusiste en el post safa. Que materia tan fea e inestudiable.
    BRUJITAVARON +1
    En una parte tenes repetido desde suma de vect en adelante.
    JoeAstrada +4
    muy fácil esta parte. Se complica a partir de subespacios. PD: lo tengo que recursar
    1vyythe1_JR
    Tengo algebra el próximo cuatri, me la van a poner con subespacios
    Miguel201b
    Buen post aunque me hubiera gustado más que hablaras del algebra lineal de forma más abstracta no enfocándola en la geometría aunque por el enfoque supongo que estudias alguna carrera como ingeniería hablar de espacios vectoriales hubiera sido suficiente generalización.