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Aprendiendo sobre los números (1ª parte)

Antes de empezar con el post voy a explicar algunas cosas que me motivarion a hacerlo. La primera fue un post que vi ayer en donde decía que el número mas grande de todos era 'n', lo cual es una afirmación errónea (y acá aviso: la razón de este post NO ES DEFENESTRAR a otro usuario, él simplemente encontró algo en la red y lo subió con la fuente, no hizo nada malo). La otra razón es una estupidez: me gusta la matemática.
Voy a tratar de seguir y hacer más partes, explicando más cosas a medida que tenga tiempo, siempre tratando de mantenerlo entendible para todos. Por hoy, van sólo los números naturales.



Los números naturales


Definición de los números naturales

Es un tanto dificil definir al conjunto de los números naturales. La definición más aceptada y "amigable" es la que se dá a través de los Axiomas de Peano, quien basandosé en una lógica de segundo orden logró axiomatizar a este conjunto.
Acá hay que hacer un pequeño alto antes de explicar. Hay dos formas de presentar los axiomas de Peano, una es a partir del 0 y la otra a partir del 1. En este caso, voy a tomar la definición a partir del 1 dado que es la mas usada.


Axiomas de Peano

1- El 1 es un número natural.
2- Si 'n' es un número natural, entonces su sucesor 'n+1' también es un número natural.
3- El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4- Si 'n' y 'm' son dos números naturales, de forma tal que 'n+1=m+1', entonces n=m
5- Si 'S' es un conjunto de números, que contiene al 1 y al sucesor de cada número perteneciente a S, entonces S contiene a todos los números naturales.

Bien, ahora hay que explicar. Partimos de la base de que el 1 es un número natural, y a partir de aca empezamos a construir nuestro conjunto. En el segundo axioma se definen a los demás elementos del conjunto: dado cualquier número, ya sea 1, 2, 3, 4 o 1.000.000, la suma entre ese número y uno pertenece al conjunto de los números naturales. Intuitivamente esto implica dos cosas: la primera es que el conjunto de los números naturales es infinito, es decir que cualquier número, en principio, tiene sucesor o que cualquiera sea el número que yo tenga, siempre voy a poder encontrar uno más grande al sumarle el 1; la segunda es que todos los números pertenecientes a los naturales son enteros (vulgarmente, no tienen coma). El tercer axioma es el que termina de definir a los elementos del conjunto. El hecho de que el número 1 no sea sucesor de ningún otro quiere decir que no existe ningún número que al sumarle 1 nos dé 1. De esta manera el 1 es el primer elemento del conjunto de los números naturales y quedan excluidos de él el 0 y los números negativos.
El cuarto axioma es, ami parecer, el más entendible de todos. Si tenemos 2 números naturales cualquiera, y sus sucesores son iguales, entonces esos dos números también tienen que ser iguales. Esto implica que para cada número natural, existe un sólo sucesor.
El quinto axioma es el que en matemática se conoce como "Principio de inducción" y es quizás el más dificil de entender. Pero veámoslo así: S es un conjunto de números naturales, que comprende al 1 al sucesor de cada número perteneciente a él mismo. La forma de S seria así:

S={1, 1+1, (1+1)+1, (1+1+1)+1, ......}


Donde 1 es el primer elemento del conjunto. El sucesor de 1 es 1+1=2, el segundo elemento. El sucesor de 2 es (1+1)+1=2+1=3, el tercer elemento. Y así podemos seguir ad infinitum, dado que cualquiera sea el número que elijamos su sucesor pertenece al conjunto S.
Recordando el axioma 2, si el sucesor de un número natural es otro número natural, el primer elemento de S es el 1, y S contiene al sucesor de cada uno de sus elementos, entonces S debe contener a todos los números naturales.

De esta forma ya tenemos construido el conjunto de los números naturales de una manera un tanto intuitiva. La construcción verdadera es un tanto más larga y comprende conocimientos de matemática que no tengo la intención de explicar (y algunos que no entiendo del todo) ya que no sería entendible para todos. Sin embargo encontré en un foro de una página de matemática la construcción completa y dejo el link para el que esté interesado/a.


http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.0.html


Operacionesde los números naturales

Podemos definir 4 operaciones básicas para los números naturales: la suma (+), la resta (-), la multiplicación ( . ó x) y la división ( / , ÷ , : ). No voy a explicar cómo se procede con cada operación, pero voy a hacer algunas observaciones.
1- La suma y la multiplicación son operaciones cerradas en el conjunto de los naturales. Esto quiere decir que si sumamos o multiplicamos 2 números naturales, cualquiera sean esos números, el resultado SIEMPRE es un número natural.
2- La resta y la división son operaciones abiertas en el conjunto de los naturales. En otros palabras, NO SIEMPRE que restemos o dividamos dos números naturales, vamos a obtener como resultado un número natural. De esta forma operaciones como 1-3 ó 7/2 NO EXISTEN en los números naturales ya que su resultado no es un número natural.



Propiedades de cada operación

Propiedad conmutativa

Esta propiedad sólo la cumplen la suma y la multiplicación. Para la suma, es significa que al sumar dos números el resultado es el mismo. Cualquiera sea el orden de los números. De otra forma si tenemos dos números cualquiera 'n' y 'm' la suma 'n+m' es igual a la suma 'm+n'. Lo mismo pasa en la multiplicación, el orden de los factores no altera el producto. Es decir, 'n x m=m x m'.
En el caso de la resta esta propiedad no se cumple. Para ejemplificar, la resta 3-2= 1 no es lo mismo que la resta 2-3, cuyo resultado es un número negativo. Tampoco se cumple para la división. esto se puede probar de manera muy simple: la división 6/3 da como resultado el número 2; pero si se cambia el orden de los números y se hace la división 3/6 el resultado es 0,5 que no pertenece al conjunto de los números naturales (OBSERVACION: para que una división este definida en los números naturales el dividendo, o número que se divide, debe ser mayor que el divisor, o número por el cual se divide; pero ademas estos deben ser multiplos, de otra manera el resultado es un número que no pertenece a los naturales. Ejemplo: 5/2=2,5)


Propiedad asociativa

Propiedad que sólo cumplen la suma y la multiplicación. Al tener sumar 3 ó más números el resultado es el mismo independientemente del orden en que hagamos la operacion. Así, si tenemos los números 'n', 'm' y 'o':

'(n+m)+o=n+(m+o)' y '(n x m) x o=n x (m x o)'


En el caso de la resta y la división es fácil ver que esta propiedad no se cumple mostrando ejemplos con números:

'(5-4)-3≠5-(4-3)' y, '(8/4)/2≠8/(4/2)


Propiedad del elemento neutro

En los números naturales, sólo la cumplen la multiplicación y la división. Esta propiedad dice que existe un número tal que al operar un número cualquiera 'n' con ese elemento neutro, el resultado es 'n'. Para la multiplicación y la división el elemento neutro es el 1 (Aclaración: en la suma y la resta el elemento neutro es el 0, que NO ESTA DEFINIDO en los naturales). ejemplificando:

'4 x 1=4' y '5/1=5'

Propiedad distributiva

Esta propiedad es la que una a la suma y la multiplicación. Implica que la suma de dos números, cualquiera sean esos números, multiplicados por un tercero es igual a la suma de cada sumando multiplicada por cada tercer número. De esta forma, si tenemos los números 'n', 'm', y 'o':

'(n+m) x o=n x o + m x o'


Ejemplo numerico:

(4+10) x 2=4 x 2 + 10 x 2=28






Fuente

http://mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html

Aclaración: en esa página sólo estan los axiomas de Peano en inglés, los cuales modifiqué pues estan definidos a partir del 0 y no del 1 como se hace generalmente. Lo demás es mío.

3 comentarios - Aprendiendo sobre los números (1ª parte)

gastysk8 +1
esta muy bueno gracias te dejo 10
JorgeLupin
Te falta un axioma fundamental, y es la definición del elemento cero. Para colmo de uno de los axiomas que presentás (el 1 no es sucesor de ningún número natural), se desprende que el cero no sería un número natural, lo cual es una contradicción. Pues de no ser el 0 un nro N entonces una simple resta (n-n) o (n*0) no tendría solución dentro del grupo de números naturales. Y más específicamente, el grupo de los números N no sería un grupo dado que no tiene un elemento de identidad en la función suma. Sólo cito algunos de los problemas derivados de esto, hay más. Saludos.