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Vectores.

Vectores.



Sistemas de Coordenadas

i) En 1 dimensión, solo una clase de sistema,
-Coordenadas Lineales (x) +/-

ii) En 2 dimensions hay dos sistemas comúnmente usados,
-Coordenadas Cartesianas (x,y)
-Coordenadas Circulares (polares) (r,θ)

iii) En 3 dimensiones hay tres sistemas comúnmente usados,
-Coordenadas Cartesianas (x,y,z)
-Coordenadas Cilíndricas (r,θ,z)
-Coordenadas Esféricas (r,θ,φ)

Vectores (repaso):


i) En 1 dimensión, podemos especificar la dirección con un signo: + o -.

ii) En 2 o 3 dimensiones, necesitamos más que un signo para especificar la dirección de algo.

iii) Para ilustrar esto, considérese el vector de posición r en 2 dimensiones.

Ejemplo:
¿Dónde está la cd. B?
Elíjase el origen en A
Elíjase un sistema coordenado
B está aprox. a 198 km al noreste de A (magnitud y dirección)
ó
B está aprox. a 140 km norte y 140 km este de A (componentes)

Hay dos formas comunes de indicar que algo es una cantidad vectorial:

-Notación en negritas: A
-Notación con “Flecha”.

Vectores: definición


i) Un vector está compuesto de una magnitud y una dirección ejemplos:
- Desplazamiento, velocidad, aceleración
- Magnitud de A se designa por |A|
- Usualmente tiene unidades

ii) Un vector no tiene una posición particular; se puede mover acualquier posición siempre y cuando se preserve su magnitud y dirección.

iii) Dos vectores son iguales si sus direcciones y magnitudes coinciden.

Ejemplo:
A
----------------------->

C
----------------------->

B
<-----------------------

-A es igual a C.
-A es diferente de B.
-C es diferente de B.

Vectores y escalares:


i) Un escalar es un número ordinario.

-una magnitud sin una dirección
-podría tener unidades (kg) o ser sólo un número
-usualmente indicado por una literal, sin negritas y sin “flecha”.

ii) El producto de un vector y un escalar es otro vector en la
misma dirección pero con una magnitud modificada.

A = -0.75 B
C = 0.75 B

A
----------------->

B
<------------------------------

C
------------------------------>


PROBLEMA 1 : Vectores y Escalares.


Mientras una persona hace su ejercicio cotidiano, varias cantidades describen su condición.
¿Cuál de las siguientes no es un vector?

A) su velocidad (3 m/s)
B) su aceleración cuesta abajo (30 m/s2)
C) su destino ( el parque -1 000 m)
D) su masa ( 150 kg)

Solucion:
Mientras una persona hace su ejercicio cotidiano, varias cantidades describen su condición
¿Cuál de las siguientes no es un vector?

A) Velocidad tiene dirección y magnitud (3 m/s este)
B) Aceleración tiene dirección y magnitud (30 m/s2 cuesta abajo)
C) Destino = posición y tiene una dirección ( el parque está a 1,000 m al este de su casa).
D) su masa (150 kg) No hay forma de asignar una dirección a una masa: Sólo puede ser un escalar

Por tanto la respuesta es D).

Conversión entre Sistemas de Coordenadas

-En coordenadas circulares el vector r = (r,θ)
-En coordenadas Cartesianas el vector r = (rx,ry) = (x,y)
-Podemos convertir entre los dos sistemas como sigue:

rx = x = r cos θ
ry = y = r sen θ

r = (x^2 + y^2)^1/2
θ = arctan( y / x )

Suma de Vectores:


-La suma de dos vectores es otro vector.
C = A + B

Nótese que: C = B +A (conmutatividad)

Resta (substracción) de Vectores:

-La resta de vectores se puede definir en términos de una suma.
A - B = A + (-1)B

Vectores Unitarios:


- Un Vector Unitario es un vector que tiene longitud 1 y sin unidades.
- Se usa para especificar una dirección.
- El vector Unitario u apunta en la dirección de U.
- A menudo denotado con un “gorro”: u = û

û= U/|U| --> u unitario es igual a el vector U entre la magnitud del vector.

Ejemplos útiles son los vectores unitarios cartesianos [ i j k ]
-apuntan en la dirección positiva de los ejes x, y y z.

r = rxi + ryj + rzk

Suma de Vectores usando componentes:


-Considérese (en 2D) C = A + B.
(a) C = (Ax i + Ay j ) + (Bx i + By j ) = (Ax + Bx )i + (Ay + By )j
(b) C = (Cx i + Cy j )

Comparando componentes de (a) y (b):
-Cx = Ax + Bx
-Cy = Ay + By

Generalizando a tres dimensiones (3D):

Cx = Ax + Bx, Cy = Ay + By, Cz = Az + Bz

PROBLEMA 2: Suma Vectorial.


Los vectores también se pueden representar como un par de números (en 2 D) ó como una tripleta de números (en 3D) en un plano cartesiano. Cada número del par o de la tripleta representa la componente respectiva del vector en el eje coordenado correspondiente.
- Vector A = (0,2,1)
- Vector B = (3,0,2)
- Vector C = (1,-4,2)
¿Cuál es el vector resultante, D, de sumar A+B+C?

(a) (3, 4, 2)
(b) (4, 2, 5)
(c) (5, 2, 4)

Solucion:

D = (Axi + Ayj + Azk) + (Bxi + Byj + Bzk) + (Cxi + Cyj + Czk)
= (Ax + Bx + Cx)i + (Ay + By+ Cy)j + (Az + Bz + Cz)k
= (0 + 3 + 1)i + (2 + 0 - 4)j + (1 + 2 + 2)k
= (4,-2,5)

La respuesta es (b).


Multiplicación de vectores


Hay dos formas comunes de multiplicar vectores:
-“producto escalar”: el resultado es un escalar
A B = |A| |B| cos(θ)

-“producto vectorial”: el resultado es un vector
|A| x |B| = |A| |B| sen(θ)

Producto escalar

- Producto escalar de vectores unitarios cartesianos:

i i = 1
j j = 1
k k = 1
i j = 0
i k = 0
j k = 0

-Producto escalar es conmuttivo:
A B=B A

- Util para realizar proyecciones.

A î = Ax

El cálculo es simple en términos de componentes:
A B = (Ax)(Bx ) + (Ay )(By )= AxBx + Ay By (en 2D)

A B = (Ax)(Bx ) + (Ay )(By ) + (Az )(Bz )= Ax Bx +Ay By+Az Bz (en 3D)

- El cálculo es fácil en términos de magnitudes y ángulos
relativos:

A B = |A| |B| cos(θ)



Producto vectorial

-Magnitud definida por:
|A x B|= | A| |B| Sen (θ)

-Dirección definida por la “regla de la mano derecha”:
i) Perpendicular A y B;
ii) Extender los dedos de la mano derecha en la dirección de A;
iii) Colocar la palma de la mano de modo que los dedos giren en la dirección de B;
iv) Extender el pulgar para que apunte en la dirección de A x B.

- Producto vectorial de vectores unitarios cartesianos:
i i = 0
j j = 0
k k = 0
i j = k
j k= i
k i = j
j i = -k
k j = -i
i k = -j

El producto vectorial no es conmutativa: AxB es diferente que BxA.

Producto vectorial de dos vectores en 3D:
A x B = (Axi + Ayj + Azk) (Bxi + Byj + Bzk)
= (Ay Bz -Az By) i - (Ax Bz -Az Bx) j + (Ax By -Ay Bx) k








Espero y les sirva.

7 comentarios - Vectores.

GabyelAs
que tristes recuerdos me trae ver esto...
DROGOTOMON
OYE! NO TAN RAPIDO CEREBRITO!!!!!
pacomat1 +1
buena información ojalá esto le pueda servir a alguien que recién esté estudiando los famosísimos vectores
EL_UNO09 +1
Bueno La verdad q buscaba la funcion de vectores en c++ pero grax no ase mal verlo

Buen Post!