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Los 23 problemas de Hilbert (de matemática)

Los 23 problemas de Hilbert


Empecemos por algo básico. Un poco de info biográfica acerca de David Hilbert.


David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental – 14 de febrero de 1943, Göttingen, Alemania) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.

En la pugna por demostrar correctamente algunos de los errores cometidos por Einstein, en la teoría general de la relatividad, David Hilbert se adelantó a las correcciones de Einstein, sin embargo nunca quiso otorgarse el mérito

O sea, fue un bocho enorme para la matemática; que enriqueció la ciencia con numerosos aportes. Pero este post hace especial hincapié en uno de ellos. Estamos hablando, de los 23 problemas de David Hilbert.
Fue en un día de 1900, en el marco de una conferencia en París para el congreso internacional de matemáticos de ese año, que el mundo (un puñado de entendidos sobre la meteria en realidad nada más) oyó por primera vez de ellos. Lo que Hilbert en realidad hizo fue compilar una serie de problemas que hasta ese día no habían hallado solución, y cuyas respuestas posibilitarían el salto evolutivo de la matemática del siglo XX. Inicialmente, presentó 10 de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) en la conferencia, en un acto el 8 de agosto en La Sorbona. La lista completa se publicó más adelante.

Hoy en día, de los problemas de Hilbert claramente formulados, los problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 y 20 tienen una solución aceptada por consenso. Por otro lado, los problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18, 21 y 22 tienen soluciones de aceptación parcial, pero existe cierta controversia al respecto de si la solución resuelve realmente el problema.

En el 18, la solución a la ecuación de Kepler es una demostración asistida por computador, una noción anacrónica para un problema de Hilbert y controvertida hasta cierto punto debido a que un lector humano no puede verificarla en tiempo razonable.

Esto deja sin resolver el 8 (la hipótesis de Riemann) y el 12, ambos dentro de la teoría de números. En esta clasificación los 4, 6, 16 y 23 son demasiado vagos como para que algún día se les pueda declarar resueltos.

Paso a mostrar algunos de los problemas, y su solución (o intento de solución. Aclaro de antemano que tales soluciones no son como encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, o calcular el área de un pentágono: son matemática muy pero muy avanzada. Solo me limito a mostrar principalmente el (o los) procedimientos empleados para llegar a la solución, o por quién fueron resueltos. Los paso a clasificar en 3 grupos: en primer lugar, los cuales cuya solución es aceptada por consenso general. Solo voy a poner 2 o 3. El resto se puede encontrar en Wikipedia.

Problema III: dados dos poliedros de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en una cantidad finita de piezas poliédricas que puedan ser ensambladas de modo que quede armado el segundo?
Resultado: no, probado usando invariantes de Dehn

Problema VII: ¿Es a elevado a la b trascendental, siendo a ≠ 0,1 algebraico y b irracional algebraico?
Resultado: sí, ilustrado por el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider

Problema XVII:Expresar de una función definida racional como cociente de sumas de cuadrados
Resultado: se estableció un límite superior para el número de términos cuadrados necesarios, Pfister (1967). La solución negativa en general se debe a Du Bois (1967).


Por otro lado, están los problemas que tienen soluciones de aceptación parcial, pero existe cierta controversia al respecto de si la solución resuelve realmente el problema.

Problema I: La hipótesis del continuo (esto es, no existe conjunto cuyo tamaño esté estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales)
Se ha probado la impibilidad de probarlo como cierto o falso mediante los axiomas de Zermelo-Fraenkel. No hay consenso al respecto de considerar esto como solución al problema.

Problema XV: Fundamento riguroso del cálculo enumerativo de Schubert.
Parcialmente resuelto, Van der Waerden a finales de los años treinta.

Problema II: Probar que los axiomas de la aritmética son consistentes (esto es, que la aritmética es un sistema formal que no supone una contradicción).
Parcialmente resuelto: hay quienes sostienen que se ha demostrado imposible de establecer en un sistema consistente, finitista y axiomático. Sin embargo, Gentzen probó en 1936 que la consistencia de la aritmética se deriva del buen fundamento del ordinal ε0, un hecho sujeto a la intuición combinatoria.


También están los problemas demasiado vagos como para hallarsele una solución

Problema IV: Construir todas las métricas cuyas rectas sean geodésicas.
Problema VI: Axiomatizar toda la física
Problema XVI: Topología de las curvas y superficies algebraicas.


Y finalmente, aquellos problemas que aún hoy permanecen abiertos y sin solución.

Problema VIII: La hipótesis de Riemann (la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½) y la conjetura de Goldbach (cada número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos).
Problema XII: Extender el teorema de Kronecker sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquier cuerpo numérico de base.



Hoy por hoy, el más importante y competente es el VIII, la hipótesis de Riemann. Es el único de los 23 problemas de Hilbert que fue incluído dentro de los 7 problemas del milenio. Se ofrece una suma de U$S 1000000 para quien logre resolverlo.


Saludos, y no me tiren muchos palos. Es mi primer post. No espero llegar a NFU con esto, pero espero haberlo hecho bien.
Los 23 problemas de Hilbert (de matemática)

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8 comentarios - Los 23 problemas de Hilbert (de matemática)

enfeder2
U$S 1000000 ????????? donde jajajaa
Eduardo03
Caspian56 dijo:Interesante post,+5

Al parecer prometen pero no cumplen.. Me gusto tu post, pero no te prometo puntos, no puedo
LeokoPr0
Concuerco con Caspian, Interesante. No cuantifico los post con numeros para destacar su calidad, porque es algo irelevante. Valoro el post con un comentario. No sabía quien era Hilbert. Entré porque pensé que decía "DILBERT" el de los chistes ingenieriles. Repito, esta interesante.
banjo12
Gracias!!! me ayudo para mi tarea!!!
Marcepax
te dejo +10! muy bueno!